LOGについて

最近、関連の深そうなご質問がありました↓

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=790999

一般に、例えば、10桁の掛け算よりも10桁の足し算の方が計算が楽です。

springside様がおっしゃっているように、対数とは1614年頃ネイピアが掛け算を足し算に変えるために発明したものです。

例えば、1024×512=524288　ですが、

1024が2^{10}(2の10乗)、512が2^{5}(2の5乗)

であることに気づけば、

1024×512=2^{10}×2^{5}=2^{15}

というように掛け算が指数の部分の足し算となります。

この経験から指数の形に書けば、掛け算が足し算に変わるということがわかります。

そこで、12345×837633のような掛け算を行うときに
それぞれを10^{?} (別に2^{?}でもよい)という形に
かけば、
12345×837633=10^{☆}×10^{○}=10^{☆+○}
というように、指数の部分の足し算になります。

100は10^{2}、1000は10^{3}と書けますが、
では、2は10の何乗と書いたらよいのでしょうか？
という疑問がでてきます。
10^{0}=1、10^{1}=10です。2は1と10の間ですので、
2は10の0.2乗か0.3乗くらいという気がしますが、とりあえずよくわからないので、
2=10^{log 2}
と書いておくことにします。

つまり、logとは2を10の何乗と書くために必要なもの

ということになります。(10の何乗でなくて2の何乗という形でもよい)

logを実際に使うためにはlog2=0.3010という値が必要になります。
これは少し考えれば自分の手で計算できますが、ここでは、その説明は省きます。まあ、原理的には計算できるものだと思っていてください。

対数表を使った計算の説明のため、簡単な例で、対数計算をお見せすると
2×3=10^{0.3010}×10^{0.4771}=10^{0.7781}=6
という感じになります。

このように対数を使った計算では対数表が欠かせません。ネイピアは対数を思いついてから、それを本にして発表するまで8年間かかっています。その8年間はひたすら対数表をつくっていたのでした。

以上がlogのもともとの意味です。

log100=2、log1000=3、、という例からわかるように
（底が10の場合）logの値とはおおざっぱに言って「桁数」を表します。
(正確には「桁数-1」）
log2=0.3010ですので、2とは1.301桁の数ということになります。
ですから、「logX=34」という式をみたら、「Xは大体35桁くらいの数なんだな」と思えばよいわけです。

（底が2の場合は2進数で書いた「桁数-1」を表します）

現代ではコンピュータの出現によって、掛け算を行う際に対数を使うことはなくなりました。
だからといって、対数がもはや役に立っていないわけでは全然なく、数学や物理ででてくる式に対数はしょっちゅう現れます。
つまり、依然として実用に大いに役に立っているということです。

まず，#1さんの言うとおり，log(x)yは「xを何回掛け合わせるとyになるのか」を示していると教えるのが，なんとなく理解してもらうのに良い方法だと思います．

さて，何故必要なのかについては，1つは，x^z=yの時，z=log(x)yになるという性質を使えば，数学で式を変形していくときに，難しい数や計算をすぐに行わなくても済むということが挙げられます．円周率をπと「とりあえず」置いておくのと似たような感じですね．

2つめには，大きな数をわかりやすく表現できるということが挙げられます．代表例は地震のマグニチュードで，マグニチュードが1上がるたびに，地震の持つエネルギーが約32倍になります．また，2あがると約32×約32=1000倍になります．
例えば，「エネルギーが1000000の地震とエネルギーが1000000000の地震があった」といってもなんだか良くわかりませんが，「マグニチュードが4の地震と6の地震があった」というと理解できる数に収まります．このようにものすごい大きな幅のある値をわかりやすく理解するためにも，使われることがあります．

あとは，「掛け合わせ回数」を求めるためのまっとうな利用法ですが，こちらは他の回答者の方々が説明してくださっているので省略しますね．

#5です。

生物の個体数も、(環境圧がかかるまでは)累乗的に推移しますね(いわゆるネズミ算)

Q.「１分間で２つに分裂するアメーバがいる。このアメーバ１匹が１億匹以上に増えるのは何分後か」

A.「Log[2]100000000=Log[2]10^8=8Log[2]10≒26.57　より27分後。」

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品質管理。

Q.「１回の製品チェックで不良品の70%を発見できるとする。不良品の少なくとも99.9999%を発見するには何回チェックを繰り返せば良いか。」

A.「Log[0.3]0.0001≒7.64より　8回」

(条件を単純化するために強引な設定をしてます。普通はこんなチェックはしないと思います。)

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かなり強引ですが…

Q.「１週間の使用につき５％の確率で故障する機械が１万台ある。この機械を修理せずに連続運用した場合、半数が故障するのは何週間後と予想されるか？」

A.「Log[0.95]0.5≒13.5　より14週間後。」

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対数とは関係ないですが、
昔、元陸将補という方が新聞紙上で、
「９０式戦車の自動装填装置は１発ごとに５％の確率で故障するという。２０発撃ては全車が故障する計算になる。」
とのたまっておりました。
いったいどんな“計算”なんだか…(汗

数学のわからない人にどう説明するか? 結構、難しいですよね。

まず、結構自然界にも人間の世界にもlogを使った方が良いケースは
たくさんあります。
その前にlogじゃない方が良いケースは、例えば水道の蛇口から一定量
で水を出して、風呂桶にたまる水の量。これは一定時間に一定量の水
が増えて行きますよね。例えば、1分で10L。2分だったら20L、、、
10分で100L。
一方、例えば、生ものに細菌がついて増える現象。あれって、一定時間
で数が2倍とか、上の例のように増加量が一定なのではなく、増加の比率
が一定の場合。例えば、初めは細菌の数が1個。1分で5倍になる。としま
しょう。1分で5個。2分で25個。3分で125個、4分で625個、5分で3125個、
6分で15625個、7分で78125個、8分で390625個、9分で1953125個、10分で
9765625個、、、
細菌の数が少なければ、食べてもお腹の中でやっつけられるけど、1万個
を超えたらダメだとか、、、

あと、大きい数と小さい数を同時に扱う必要のある時。Excelをお使いに
なれるのなら、グラフを書いてみましょう。横軸を時間、縦軸を細菌の数。
10分で約977万個ですから一メモリ100万で10メモリ。このグラフだと、7分
まで殆ど0と変わらないように見えます。
次に縦軸をlog(対数)にしてみます。こうすると、1個、10個という小さい
数から1000万という大きな数まで同時に見ることができます。

いかがでしょうか?

以上

一番素朴な対数（log）の効果（というか、logという概念が生まれた時に言われた効果）というのは、「大きな数の計算をするのが楽になる（「天文学者の寿命を延ばした」とも言われたらしい）」ということでしょう。

具体的に説明します。
logの性質として、「掛け算を足し算にできる」、「累乗を掛け算にできる」というのがあります。つまり、

log(a×b) = log(a) + log(b)
log(c^d) = d×log(c)　（「^」という は、累乗を表す記号です）

これを使うと、例えば、2^10×3^20（２の１０乗×３の２０乗）の値を知りたいときに、以下のように概算できます。

X=2^10×3^20とすると、
log(X)=log(2^10×3^20)
=log(2^10) ＋ log(3^20)
=10log2 ＋ 20log3

となり、log2≒0.3010、log3≒0.4771なので、（注：底を10にしています）
log(X)≒10×0.3010 + 20×0.4771
＝12.552
となります。したがって、
X≒10^12.552
＝3,564,・・・（３兆５千６百４十億・・・）

となり、だいたいの値がわかります（正確さを犠牲にして、大体の桁数などがわかったということです）。［正確な値は、3,570,467,226,624です。］

ただ、現代では上記のような計算は全てコンピュータがやってくれるので、上記のメリットは薄いでしょう。むしろ、「何かと何かの相関関係を調べるときに、直接的な値そのものではなく、logをとった値で調べると相関関係をつかみやすく、また、計算もしやすい。」といった点が便利なのかも知れません（「物理的な音量」と「人が感じる音の大きさ」とか←うろ覚えです）。

一番身近なのはやはり複利計算ではないでしょうか？

「年率0.5%のとき、元金が8倍になるのは何年後か？」

「Log[1.05]8≒42.6より、43年後。」

> なぜLOGが必要なのか

自然のもので、２つの値がべき乗の関係になっているものって…あんまり思いつきません。
むしろ、人間の都合でそう設定しているものが多い気がします。

無理矢理例を挙げてみると、

コンロで100のお湯を沸かすとき、
火力１だと2の熱量なので、50分かかる。
火力２だと4の熱量なので、25分かかる。
火力３だと8の熱量なので、12.5分かかる。
火力４だと16の熱量なので、6.25分かかる。
丁度10分後にお湯が沸騰するための火力の目盛りは？とか。

こちらも都合が良いからそういう単位になっているのですが、音量のデシベルとか。

中盤の式、log(3)27=3でした。

すいません、打ち間違い…(^^;

最近、確か、何かのペット番組で、ログの計算をする犬（？）見たいなのが出てきて、それで母に聞かれたことがありますね。

僕はとにかく、具体例を挙げまくりましたね。
log(2)4=2, log(2)8=3などなど…。
母のような算数さえ出来ない人間でも、具体例を数個出して説明（logの右下に書いてある小さな数字を、イコールの右の数字の「回数」だけかけると、ｌｏｇの隣の大きな数字になるんだよ、的な）すると、意味は分かったようで、log(3)=27とかを解くことが出来ました。

数学が全く出来ない人に教える、ということは具体的なことではなく、それの存在の意義などについてだと思うので、とりあえず、「メチャクチャ大きな数字を扱うときに、たとえば、掛け算とかしないとダメでとても大変な時に、ｌｏｇを使うと、それが足し算に直すことが出来て、めっちゃ便利☆」とか言うと、どうでしょうか？(^^;