modal, auxiliary verb について

ＴＥＳＯＬで使われている定義です。

auxiliary verbとは
be,do,haveの３つでこれらには-sがつきます。

一方
modal auxiliaryとは
can,may,shall,willなどでこれらには-sはつきません。

これらの意味で別々の名前を付けて区別しています。
modalとは日本語で言う助動詞の総称です。
modalは１つの単語だけでなく、１つのフレーズにもなります。

MODAL
can, could
will, shall
must
should
would
may, might

PHRASAL MODAL
be able to
be going to, be about to
have to, have got to
be supposed to
used to
be allowed to

上の表と下の表ははそれぞれ対応しています。
同じ意味でもいろいろな言い方がありますね。

これらすべての言語における助動詞的な「意味を持ったもの」をmodalityといって総称しているのです。
したがってauxiliaryはmodalの一種です。

＞modal auxiliary verbsは、しばしば単にmodalと呼ばれ

そうです

modalの中にmodal auxiliary verbsが入っています。

MODALはあくまでも総称です。

#5について

is,do,haveは

疑問文で使われる場合
auxiliary verbになります

「do you sing?」のdoは
auxiliary verbです

「I don't sing」のdo notも
auxiliary verbです

英語はその昔do auxiliaryを持っていませんでした
「I sing not」という文法が
middle english（1100-1500）の時代まで使われていました。

肯定や否定の概念を表す言葉もmodalといいます。
したがって３つのauxiliary verbはmodalに含まれます。

以下はＯＥＤからの引用です。

1. Logic. Of a proposition: involving the affirmation or negation of possibility, impossibility, necessity, or contingency; (more widely) that contains an adverb or adverbial phrase, or in which the predicate is affirmed or denied of the subject with a qualification. Of a syllogism: containing a modal proposition as a premiss. Hence: relating to a modality or modal propositions; consisting of or dealing with modal propositions (esp. in modal logic).

そうです

可能性や未来、義務といった概念を表す言葉（単語、フレーズ）の総称です。
すべてひっくるめてmodalまたはmodalityといいます。

>３つのauxiliary verbsと、

　すべてのmodal auxiliary verbs（phraseも含む）
　を全部ひっくるめた「日本語でいう助動詞」のことを
　英語で「ＭＯＤＡＬ」（あえて大文字にしました）
　と総称する

3つのauxiliary verbsとは、"be", "do" & "have"のことを仰っているのだと思いますが、これらは "modal"に含まれてはいません。

"modal"は;
will
would
can
could
may
might
must
have (got) to
shall
should

の以上が英語における"modal"といえると思います。

auxiliary verbとは

be,do,haveの３つでこれらには-sがつきます。

これはbe,do,haveは
is, does, hasなどというように３人称の変化をしますということです。

Do you like me?
のDoはauxiliary verbといいます。

Has he gone already?
のhasはhaveが変化したauxiliary verbです。

Is he going to school?
のIsもauxiliary verbです。

一方
modal auxiliaryとは
can,may,shall,willなどでこれらには-sはつきません。

これは
can,may,shall,willには3人称のsはつけませんということです。
つまり
He cans play a piano.とは言いません
He wills go tomorrow.とも言いません

このmodalはSをつけることがないので、Sをつけなくてはいけない上のmodalと区別するために別々の名前をつけているのです。

上手く説明できるかわかりませんが頑張ります。

Modal（法助動詞）は、そのセンテンスの意味における状態や聞き手や話し手のそれにたいする態度(すなわち、"modality"）を示す助動詞(Auxiliary verb)のことです。英語では、"may", "can", "must", "have to", "should"・・・等が助動詞です。

例としては；

He might help you. の"might"が「可能性」を表していますが、それがこの文におけるModalityだと言えます。

＊ややこしいかもしれませんが、この場合、modalityは助動詞(Auxiliary verb)によって表されていますが、必ずしもmodalityというものはauxiliary verbによって表されるとは限りません。

例えば；
Perhaps, he is right. では、"perhaps"という副詞によってmodalityが表されています。

＞助動詞という大箱があって、その中に、be, do, have そしてmodalsという小箱があるのでしょうか？

（英語に限っては）そうだと言える思います。

Auxiliary Verb とは必ず他の動詞（メインの動詞）と共に用いられ、aspect（相）, voice（態）, tense（時制）, person（人称）, mood （法）等を示す動詞をさします。英語においては、仰る通り、"be", "do", "have", そして"modals (modal verbs)"の4つの形に分かれるのです。

わかりにくくてごめんなさい・・・。

＞auxiliary verb=be, do, have and all the modals

＞助動詞という大箱があって、その中に、be, do, have そしてmodalsという小箱があるのでしょうか？

その理解で良いと思います。

modals は日本の英文法用語では、法助動詞もしくは法動詞と訳されていますが、can, could, may, might, must, must, shall, should, will, would がこれに属します。これらのなかには、可能性・未来の意味のサブ機能を持つものも含まれていますが、多かれ少なかれ話者 の判断・推量、すなはち話者の気持ち（mood）を吐露表するための助動詞ですので、modals と呼ばれています。modals は意味の違いこそあれ、文法的（統語的）な扱いでは、ほとんど同じに扱えますので、これを一括りで考えたほうが便利です。

純然助動詞は、do（疑問・否定文作成用）、be（進行形・受身文作成用）、have（完了形作成用）ですが、これらは、modals とはかなり違った性質を持っています。

法助動詞と純然助動詞を一括りに「助動詞」と分類したのは、英語の品詞をラテン語文法にならって８品詞にしたかったからでしょう。