コンパクトとは？

White-tigerさん。

こんにちは。
>・Aの任意の開被覆(開集合の族で覆ったもの)から、有限個の開集合を選んで、新しい開被覆を作ることができる。
というのがコンパクトの一般的な定義です。
>・任意の数列が収束する部分列を持つ集合
というのは詳しく言うと点列コンパクトと言われていますが、距離空間の場合はコンパクトと点列コンパクトは同値です。ユークリッド空間の場合はコンパクトであることと有界閉集合であることは同値であることが示せます(これをHeine-Borelの定理という)。したがって
>・有界な閉集合
はユークリッド空間の場合のコンパクト集合になります。

参考URL：http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ …

多少補足させて頂きますと、一般の位相空間ではkeyguyさんが書かれている条件のうち(4)は仮定しません。

(4)を満たすものはハウスドルフ空間と呼ばれます。距離空間やノルム空間は距離やノルムから導入された位相の下ではハウスドルフになることは容易に分かります。ハウスドルフでない位相空間の重要な例としてはZariski位相があります。

位相空間：

集合Ｅ上に開集合と称する部分集合の族が１つ与えられたとき、Ｅを位相空間と称する。
この開集合族は
１）Ｅ自身及び空集合φは開集合である。
２）開集合有限個の共通部分は開集合である。
３）開集合の和は開集合である。
４）Ｅの異なる２つの点ａ，ｂに対して互いに交わらないａを含む開集合とｂを含む開集合が存在する。
を満たせばどんなものであってもよい。

この空間で被覆によるコンパクトが定義される。

距離空間
集合Ｅ上の２点ａ，ｂに距離ｄ（ａ，ｂ）（０以上実数）が定義されているときにＥを距離空間と称する。
距離は任意のＥの点ｘ，ｙ，ｚについて
１）ｄ（ｘ，ｙ）＝ｄ（ｙ，ｘ）
２）ｘ≠ｙならば０＜ｄ（ｘ，ｙ）
３）ｄ（ｘ，ｘ）＝０
４）ｄ（ｘ，ｚ）≦ｄ（ｘ，ｙ）＋ｄ（ｙ，ｚ）
が成り立てばどのように定義してもよい。
距離を用いて開集合を自然に定義すれば距離空間は位相空間になる。

距離空間において点列によるコンパクトの定義は被覆によるコンパクトの定義に同値である。

Ｋを複素数体または実数体としたときに
ＥをＫ上の線形空間としノルム（０以上実数）が定義されているときにノルム空間という。
ノルムはλを任意のＫの元としｘ，ｙをＥの任意の点としたときに
１）ｘ≠０ならば０＜∥ｘ∥
２）∥０∥＝０
３）∥λ・ｘ∥＝｜λ｜・∥ｘ∥
４）∥ｘ＋ｙ∥≦∥ｘ∥＋∥ｙ∥
を満たせばどのように定義されていてもよい。
ｄ（ｘ，ｙ）＝∥ｘ－ｙ∥と定義すればノルム空間は距離空間である。

有限次元ノルム空間において有界閉集合によるコンパクトの定義は被覆によるコンパクトの定義に同値である。