上面と下面の面積が違う場合の抵抗及び静電容量について

抵抗の場合のみ書きます。

ただし、合っているかどうか、
参考書がないので自身ありません。

容量の場合１／Ｃで積分後、逆数をとればいいと思います。

S1>S2と仮定します。
関数S(x)を次のように導入します。
S(x)= S1 - ((S1-S2)/d)*x --- (1)
すると　S(0)=S1, S(d)=S2　となります。

点Xにおける、厚さdxの微小抵抗値をdr(x)とすると、
dr(x) =ρ*dx/S(x)=ρ*dx/(S1 - ((S1-S2)/d)*x) ---(2)

全体の抵抗値Rは直列抵抗dr(x)の合成と考えて、
微小抵抗値をdr(x)をX=0からX=dまで
積分すれば求まります。

R = ∫dr=∫ρ*dx/S(x)　積分範囲はX=0からX=dまで
　=ρ*(-d/(S1-S2))*[log(S1 - ((S1-S2)/d)*x)]X=0からX=d
　=ρ*(-d/(S1-S2))*(logS2 - logS1)
　=ρ*(d/(S1-S2))*log(S1/S2). ---(3)

ちなみに、S1=S2の場合、(3)で、S1→S2の極限を
とると、次式が得られます。
R=ρ*d/S2.

この問題は極板の間を薄層に分割してそれが直列につながっているとして計算すれば良さそうに思われがちですが厳密に言うと違うのです。

容量が
　C=(ε*(S1-S2))/(d*log(S1/S2))
で与えられるとすればS1→∞とするとCは無現大になります。しかし、極板間の距離が小さい時、No2の方が書かれているように、極板の有効面積は小さい方の極板に近くなるはずです。抵抗も薄層が直列につながっているとして計算することはできません。
　R =ρ*(d/(S1-S2))*log(S1/S2)
とするとS1→∞のときR→0となります。次のような問題を考えてみましょう。X軸上のx=dに電荷qを置き、x=0の位置にY-Z面上に無限に広がった導体があり電位0に保たれているとします。このときのポテンシャルは鏡像法で求めることができ、
　φ=(q/4πε)(1/((x-d)^2+y^2+z^2)^(1/2) - 1/((x+d)^2+y^2+z^2)^(1/2))　…(1)
になります。次ぎに電荷を取り除き、Vを正の定数として
　V=(q/4πε)(1/((x-d)^2+y^2+z^2)^(1/2) - 1/((x+d)^2+y^2+z^2)^(1/2))
で表わされる図形の導体を考え、これを電位Vにすると導体の外部のポテンシャルは(1)になります。導体の外部が抵抗率ρの物質で満たされているとして
　E = -gradφ, j=E/ρ
により無限平板の導体に流入する電流を計算してみると
　∂φ/∂x = (-q/4πε)((x-d)/((x-d)^2+y^2+z^2)^(3/2) - (x+d)/((x+d)^2+y^2+z^2)^(3/2))
よりx=0での電場の強さは
　(q/2πε)(d/(d^2+y^2+z^2)^(3/2))
となるから全電流は
　I=(dq/2περ)∫dθ∫[0～∞]rdr/(d^2+r^2)^(3/2)
　 =(q/ερ)
極板間の抵抗は
　R=V/I=Vερ/q
となって距離dに依存しないという結果になりました(ホンマかいな)。これは極板の外部が全て低抗体とした場合の結果ですから、低抗体が外部空間のすべてを占めていなければ抵抗がこれより小さくなるばずはありません。
　それでは極板の上面と下面の面積が異なるときの抵抗や容量はどう計算したら良いのでしょうか。私が思い付く方法としては
(1)有限要素法などによる数値計算
(2)変分法
(3)ラプラス方程式をデカルト座標で変数分離すれば一般解は
　φ=Σ(A1exp(ax)+A2exp(-ax))(B1exp(bx)+B2exp(-bx))(C1exp(cx)+C2exp(-cx))
　(a^2+b^2+c^2=0)
となるので境界条件からこの解の定数の値を決める
といったところです。

ご質問の容量関し、具体的な式の回答が無いので参考まで出します。

計算方法は、#1と同様です。

容量C1,C2・・・,CNを直列した合成容量Cは、
1/C = 1/C1 + 1/C2 + ・・・+1/CN
であることを利用します。
#1と同じ関数S(x)をそのまま用います。

点x(>=0,<d)における、厚さdxの微小容量の逆数を(1/C)(x)とすると、
d(1/C)(x) =dx/(ε*S(x))=dx/(ε*(S1 - ((S1-S2)/d)*x)) ---(1)

全体の合成合成容量の逆数1/Cは、微小容量の逆数(1)の合成と考えて、
微小容量の逆数d(1/C)(x)をX=0からX=dまで
積分すれば求まります。

1/C = ∫d(1/C)=∫dx/(ε*S(x))　積分範囲はX=0からX=dまで
　=(1/ε)*(-d/(S1-S2))*[log(S1 - ((S1-S2)/d)*x)]X=0からX=d
　=(1/ε)*(-d/(S1-S2))*(logS2 - logS1)
　=(1/ε)*(d/(S1-S2))*log(S1/S2). ---(2)

全体の容量は、(2)の逆数ととれば(3)として求まります。

C=(ε*(S1-S2))/(d*log(S1/S2)). ---(3)

なお、#3でwan_wanさんが紹介されたＲＣ＝ρεの関係と
#1の抵抗値を用いれば、上記計算無しで直ちに(3)が得られます。

正しいかどうか、図書館等で調べてください。

regopiさん、こんにちは。

私は以前、伝導度が一様でない物体の抵抗をどの様に計算するかを考えて変分法で計算するのが良いという結論になりました。上面と下面の面積が異なる場合の抵抗や容量も変分法によるのが良いと思います。以下に容量の場合について示します。
　導体の表面をΓ1, Γ2、外部をGとします。ポテンシャルUはGで
　div(εgrad u)=0　…(1)
を満たし、
　Γ1上でu= V/2, Γ2上でu= -V/2　…(2)
となっているとします。すると電荷は表面積分
　Q= -∫Γ1(∂u/∂n)dS
で与えられ、C=Q/Vが容量となります。(1)は汎関数
　2J[u]=∫(grad u)^2 εdxdydz
に対するEuler方程式とみなせます。(2)を満たす(1)の解uにたいしJ[u]を計算すると部分積分を行って
　2J[u]=-∫Γ1u(∂u/∂n)dS-∫Γ2u(∂u/∂n)dS
　　　　-∫u div(εgrad u)dxdydz
　　　= VQ = V^2C
したがって(2)を満足するuに対して
　(2/V^2)J[u]=(1/V^2)∫(grad u)^2 εdxdydz　…(3)
の最小値が容量となります。すべての関数から最小値を求めると正確な解になりますが関数の範囲を人為的に制限して最小値を求めると近似値となります。(2)を満足するパラメーターを含む関数に対して(3)が最小になる様にパラメーターの値を決めるという方法で容量が計算できます。抵抗も同様に変分法で計算できます。詳細は下記の本を参考にして下さい。
　寺沢寛一編「自然科学者のための数学概論(応用編)」
ラプラス方程式はデカルト座標でも極座標でも変数分離して一般解が求められますので厳密解も求められるでしょうが変分法をお勧めしたいです。

書き終わってから思いついたのですが、コンデンサーとして使える程度の極板間の距離であるならば、可変コンデンサーのことを考えると、面積の小さい方の極板面積で計算しても実用上問題はないと思う。

と答えるのも、物事の本質を捕らえたと受け止められるかも？しれませんね？(当然、前提のウンチクは必要ですが？)現実の世の中は、誤差を考慮した近似値による判断が動向を見極めるには重要であるというのは、、言い訳でしかないでしょうね？

regopiさん、こんにちは。

電気理論の勉強を始めたばかりなので、完全な回答をだすことはできませんが、私の解る範囲で考える限り、この問題に与えられた条件だけでは答えは出ないと思います。
多分、静電容量と抵抗値の類似性をポイントとした問題から派生したと思われます。たしかに、電流密度と電束密度の分布が類似している場合(この表現が正しいかは、自信がありません。)、ＲＣ＝ρεの関係から一方を特定すれば他方が計算的に求まるという手法はあります。
しかし、２つの電極の面積が異なる条件で、電流密度と電束密度の分布も類似する条件は、かなり限られていると思います。(例えば、同芯球体の一部、同芯円筒状の一部であるなど<平行極板の場合、短部の電界の歪を無視して、２つの電極の面積が等しい必要があります。>）(この条件がつくならば電験２種レベルの参考書に詳細に記載されていますので必要に応じて参考にしてください)
特に、No2の方が想定されている(並行極板で、２つの極板の面積が異なる)場合の静電容量は、私の頭では計算する方法が解りません。何故ならば、No2の方が指摘している通り、極板の各点からの距離が異なることから、導体の表面の電位は同電位という導体の条件を成立させるためには、電荷の分布を不均一とせざるを得ず電極の形状以前に電界の分布が特定できないと思うからです。(計算式を別途送るとのことですが、短部の電界の歪などをどのように特定されどの様な式に乗せるのか興味深々で私も勉強させて頂くつもりです。)
抵抗については、No1方がおっしゃるとおりに、積分すれは求まると思います。
全く自信はありませんので、間違っていたらごめんなさい。(回答、補足要求以外にアドバイスしかないので、一応アドバイスを選びましたが？)(gooの管理者に要求、人の質問に便乗質問できる、私も疑問に思っていたなどの回答の種類をつけてください)＜－自分で質問しろと怒られそうですが？)

regopiさん、こんにちは。

この問題は間違えやすいと思います。
　R = ρ*(d/(S1-S2))*log(S1/S2)
とするとS1→∞のときR→0。これはおかしいですね。上面と下面の面積が異なるので横から見ると下の図の様に台形になっているとします。

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すると側面近くでは電流は斜めに流れますので鉛直に流れるときよりは大きい抵抗を感じますが、i536さんはそれを考慮されていません(S1とS2が大きく違わない時の近似にはなっていると思います)。中央を鉛直に流れる方が抵抗が少ないので中央付近を鉛直に流れる部分が大きいと思われますが、側面近くを斜めに流れる成分もないわけではありません。そして全体の電流分布は消費エネルギーを最小にするように分布すると思われます。つまり変分法で定式化することが示唆されます。後で計算をお送りしますので、もう少しお待ち下さい。