命日って？

それはお淋しいでしょう。

慎んでお悔やみ申し上げます。

おっしゃる通り、故人が亡くなった日が命日です。あと仏教で言えば、四十九日（しじゅうくにち）や一周忌、三回忌、七回忌、十三回忌、五十回忌などがありますが、これは亡くなった人間に対してとり行われる行事です。

先日亡くなった霊能者の宜保愛子（ぎぼあいこ）さんがこうおっしゃっていました。記憶の範囲ですので多少違うかもしれません。
「可愛がっていたペットが亡くなったら、人間用の仏壇にお線香とお灯明（ろうそく）、お水を供えてあげて下さい。ペットは人間ではありませんから、お線香の先を少し折って人間のものより短くして下さい。お仏壇がなければテーブルの上でも構いません。
そして、手を合わせて「今までありがとう。安らかに成仏してね」と感謝の気持ちを込めて祈るのです。
終わりましたらお庭の片隅にでも埋めてあげてください。
　供養といっても、お金をかければいいというものではないんです・・・」

参考になりますでしょうか？