オープンソースを使ってサイトを立ち上げた後の問題について

利益を上げる上げないに関わらず、使用する際に義務や責務が発生し、使用に対する制限はあります。

細かい事を言えば、そのシステムを一般公開するかしないかに関わらず、使用する場合すべての際にという事です。バレるバレないはまた別で。
※極端な話、家庭内あるいは自分一人だけであっても、使用するからにはありますと言えます。

それは、軽いものであれば、ソース内などの著作権表示を削除してはいけない、であるとか、開発・配布元へのリンクを外してはいけないであるとか。
きついものでは、ソースコードの公開義務なんてものもあります。

それが使用条件、使用許諾契約であったり、GLPライセンスであったりなどです。
おそらくまともに解説すれば、オープンソースについて本一冊書けるでしょうから、おおざっぱに言って、その開発元・配布元の使用条件等について守りましょう、守っていればリスクは低くなります、とは言えます。

また、その使用条件に関して、営利使用であるか非営利使用であるか、個人使用であるか商用利用であるか、広告、アフィリエイトは営利利用に含まれるか否か、それらによってライセンスが変わる場合があります。
それらは元の開発者に判断がゆだねられます。

使用条件を守っていてもリスクが完全になくならないのは、管理・配布元などが変更になることで、あるいは作者個人の気が変わることで、使用条件の変更や無償ソフトから有償ソフトへと切り替わる場合があり得るからです。
※GIF特許問題、MovableTypeの有償化、ペルソナウェアのシェアウェア化問題などが近いでしょう(オープンソースではない例もありますが)

ともあれ、それらのリスクの低い(と思われる)ものを、個人の判断と責任を持って選択し、作者への敬意を忘れず使用条件等を守って使うべしってところですかね。

「オープンソース」とひとくくりにライセンスの話は語れません。

それぞれにライセンスの条文があるので、それに従って使う限りは費用は発生しないのが普通です。
利用者が利益を上げる・上げないで扱いが変わるライセンスは無いんじゃないかなあ(確認要)。

もちろん、ライセンスに違反して使えば、利益の有無にかかわらず、訴えられる可能性はあります。まあ、実際に訴えられる可能性は低いでしょうが、ライセンス違反が知られれば、多くの人から非難されますね。