ペットショップの義務について・・・

契約書の様な物はありましたか？

店舗によりますが、契約後数ヵ月、提携動物病院にかかるなら医療費半額負担などがある場合もあります。
また、明らかに契約前からの今回の様な誤飲なども負担してくれる場合もありますが、あくまで店舗によりますので確認するしかないと思います。

また、話しをする場合、店員では埒が明かないので、必ず責任者を交えてお話ししてください。
併設の動物病院であれば、現在の状態を説明してもらえる可能性は高いですので、成長後に手術をする場合はどう対処してくれるのか？等、口頭ではなく書面にて確約してもらうようにしましょう。

今更ブリーダーだったらとか言っても、１度迎え入れた子を返品だなんだと出来る訳がないですから、とにかく店側と話し合いをするしかないと思います。
店側の対応次第で法的処置も視野に入れる必要も出るかも知れませんが、感情的にならず、冷静に話し合いをしてみてください。

厳しい言い方ですが、質問者様のほうでももう少し勉強してから買うべきでしたね。

パピーミル(ご存知でなければぜひぜひ検索を）や悪徳ブリーダーや悪徳ペットショップが横行するのは需要があるからです。
もちろん法整備の問題は大きいけれど、一消費者としてできることは、せめてそのような悪徳業者をもうけさせることで経営を手伝わないこと、ではないでしょうか。
と、エラそうなことを書いてしまってごめんなさい。
本題です。
訴訟を起こすにしても、子犬が誤飲したのはペットショップにいたときだった、ということを証明できなければ難しいですよね。
＞いつかじって食べたのかはわからないにので・・・
の言葉の意味はここですね。
吐いた物は質問者様がお持ちでしょうか。
捨てちゃいました？
もしあればペットショップのものか確認できると思うのですが。
それとも獣医に渡してしまいましたか？（それだともう返ってこないでしょうね）
まさか最初の電話を録音なんてしてないでしょうし・・・。
これは今後のために知っておいたほうがいいと思うのですが、よほど信用できると判断したペットショップでないかぎり、並列の獣医には行かないほうが賢明です。
よく考えればわかると思いますが、「同じ穴のムジナ」ですよね。
経営者が同じか、袖の下渡してるんですよ（そこまで行かなくてもそのペットショップで買ったお客がみんなその獣医をすすめられて予防接種や健康診断を受けに来るとしたら、メリットはあるでしょうし）。
たとえ、仔犬の健康トラブルの原因がペットショップ側にあったとしても、本当のこと言うわけないじゃないですか。
「わからない」「あなたの飼い方が悪かった」「こういうことはよくある」「半額で新しい仔に交換できるよう、ショップに掛け合ってあげるから」必要もない治療をやって「半額にしといてあげるから」・・・なーんていくらでも丸め込まれちゃいます。
犬を初めて買う人は特にいいカモにされちゃいます。
異物誤飲なんて（その時は確信はなかったにしても）ショップ側のズサンそのもののトラブルが発生して、それでもなお並列の獣医に診せるなんて危険すぎます。
今からでも他の（ちゃんとした）獣医さんに診てもらったほうがいいですよ。

＞病院ではレントゲンを撮りまだ胃の中に誤飲されたものがあるとの診断で、吐ききれれば良いが吐けない場合、手術をして出すか？排便出だせる（今は体が小さいので排便では出せない大きさなので）成長して（数か月）排便で出るのを待つか・・・。
こんな診断おかしいですよ？
排便できない大きさのものが消化管に詰まったまま数ヶ月生きられますか？(腸閉塞で死にますよ？）
ふつう胃の中にあるのなら、それが腸に詰まる前に取り出そうとしますよ。
吐けない場合って、この獣医さんは何か吐かせようと試みました？
大抵の物なら処置をすれば吐き出せますよ、飲み込めたんだから。
どうしても吐かなきゃその場で手術ですよ(排便できない大きさなんだったら）
私に言えるのは、そのショップは質問様からさらに医療費でボッタクろうとしてるのでは？ってことです。
まずはちゃんと確かめて。
なるべく早く別の獣医さんの指示を仰いでください。
（でも、多分平気ですよ。むしろ寄生虫とか、遺伝病とか他の病気が心配）
お金を請求するのは、まあ、言ってみるだけ言ってみてもいいと思います。
それでムリだったら、訴訟したってシラきり通されたら終わりですから、今回のことは「授業料」だったと割り切って、そのワンちゃんをかわいがってあげてください。
そして、今後そのペットショップは餌だろうとなんだろうと、一切利用しないでください。
軽く悪いうわさでも流すぐらいのことしたらいいかもしれないですね(案外もう立ってたりしてね）
そんなタチの悪いショップは一刻も早くつぶれたほうがいいですから。
信頼できるショップあるいはブリーダーや獣医さんを見分ける方法も検索すればいろいろ出てくると思いますし、そしてご自身でも飼育書などをたくさん読んで、そしてどれも鵜呑みにはしないで、上手に取捨選択して「見る目」を養ってくださいね。（これが難しいんですけど）

あと、ペットショップと獣医の癒着というか共生関係そのものが悪いわけじゃなくて、あくまで「両方悪徳だった場合」の話ですので、誤解のないようお願いします。

生涯初の愛犬が２歳になった者です。

まぁそもそも国の姿勢がペット迷子で遺失物扱いの国ですので根本に問題がある事は置いておいて、ペットショップはあまり管理はしていませんね。私の行ったことのある所はですが。ウンチ、オシッコまみれでも放置ですし、酷いと水も日に何回かご飯の器で出すだけとか。ケージ個室展示販売ですと結構こんなもんかと恐らく商品でしか無いのでしょう。まぁこまめにチェックするところも中にはあると思います。

そもそペットショップなんてそんなもんなんです。

ペット先進国ではこのような形態のショップは禁止されています。

医療費に関しては売買契約書の内容やショップのオーナーの人格次第です。法的な決まりはありません。

たぶん、義務はないです。

費用負担に関しては、ペットショップ次第だと思います。
成長してからだと厳しいかもしれません。（担当者が変わってしまう可能性もあるので。）

こちらで確認するより、ペットショップに確認してください。

もし、対応してもらえないようであれば、
・消費者相談窓口に事例報告
・民事訴訟
という形で医療費の負担を求めていくしかないのではないかと、思います。

信頼できる専門種のブリーダーさんから購入すべきでしたね。

一般的に、ペットショップは、展示期間中、小さいままで居てほしいので、充分な餌をやらないし、親犬と、２ヶ月くらいは、一緒に育てるべきですが、子犬だけ、ケージに居れ、展示することが、ほとんどです。
この行為自体が、違法行為です。

適正に育つまで、親犬と離さないって言うルールがあるので、街中のペットショップは、ほとんど違法状態です。

問題点は、個別交渉してください。