保育料は旦那＋私の収入で決まるのでしょうか？

＞保育園の保育料は、旦那の収入＋私の収入から決まるのでしょうか？

いいえ。
収入ではなく、通常、前年の旦那さんと貴方の所得税の合計です。
貴方が扶養控除（正確には「控除対象配偶者」）内であれば貴方の所得税は０円なので、旦那さんの所得税の額によって決まります。

＞旦那は一人親方の自営業ですが、収入が低いので、確定申告ではなく、市府民税の申告をしています。
ということは、所得税がかからない所得ということでしょうか。
もしそうなら、所得税は夫婦足しても０円となり保育料はかなり安いと思います。
所得税がかかる所得なら確定申告する必要があります。

＞それは何故なのでしょうか？
通常、会社から「給与支払報告書」というものが役所に提出されます。
これは会社の義務です。
ただ、恒常的な雇用でないバイトで年間３０万円以下の場合は出さなくてもよいとされています。
なので、その場合は会社によっては出さないところもあります。
ただ、源泉徴収票はどんな場合でも発行する義務があります。
その会社は法律違反をしていますね。

＞私がパートをするとなると、申告の際、私の収入も勝手に向こうに明細がいき、わかるのですか？
わかります。
通常、「給与支払報告書」が役所に提出されます。

＞扶養控除内で働いても、旦那＋私の収入で一年の所得が決まり→税金や国民健康保険の額も増えるという事でしょうか？
所得二人分を合計しません。
税金はそれぞれ個人ごとに計算します。
前にも書きましたが扶養控除内（年収１０３万円以下）なら所得税がかかりません。
ただし、市府民税は年収１９３万円～１００万円（市町村によってちがいます）を超えるとかかります。

国民健康保険料は市町村によって計算方法が違いますので何とも言えません。
通常、均等割額というものがあり、それは旦那さんや貴方の収入に関係なく１人いくらでかかります
所得割額というものもあり、それは所得や住民税の額によって決まりますが、扶養控除内ならその分の保険料がそんなに増えることもないでしょう。