妻の所得が103万を超え、26万手当返金求められ

一万円を支払ったさきは給与として支払ったので、市に報告書が云って合計103万円を超えてることが判ったということでしょう。

それとも別のなにかで奥様の給与年額がわかったのでしょうか。
103万円以上の収入があったと判明した理由はともあれ、一万円が給与ではないと会社に説明されたらどうでしょうか。
支払者の経理として給与としてあるようだが、正式採用前に研修を受けてて骨折したからお見舞金が出たのだと。
一般にお見舞を給与とはいいません。
骨折したときの医療費の領収書などで、事実証明されたらどうでしょうか。
「不正受給じゃない」と名誉を回復する方が金額より大事だと思います。
とにかく払った金だから給与だとしてしまった相手の処理にも問題ありです。
相手の経理の方が「それお見舞金です」と釈明してくれるといいのですけどね。

＞その年分26万の家族手当の返金を求められました。

オーバーした一ヶ月分にするとか何か安く済む方法はないでしょうか。
こればっかりは会社の規定ですからどうしようもないでしょう。
ちなみに、私のところは１０３万円ではなく１３０万円、要は健康保険の扶養からはずれると支給されなくなります。
ただし、１年間なくなるのではなく、年の途中から扶養からはずれた場合は、そのはずれた月分からで前の分の返還はしなくてもいいです。

＞妻も受け取りを拒否していたことと来年度の分になると思っていたこともあり、
１１月分が翌年支払いということは通常ありません。
１万円でオーバーということは、それまで１０２万円稼いでいたということですよね。
それなのに、１１月末からまた働こうしたんでしょうか。
１０３万円オーバーは明らかですよね。

＞その後、その企業からは振込み確認通知も給与受け取り証明書の発行もないままでした
源泉徴収票はもらってないんでしょうか。
役所へ「給与支払報告書」が出されているなら、源泉徴収票も発行すると思いますが…。

＞企業は給与支払いの義務をお役所にきちんとしたのでしょうが、義務を果たせばそれでいいのでしょうか、納得がいきません。
会社は働きに応じた給料もしくは手当を支給する義務があります。
また、その会社にとって貴方の奥さんが扶養になるならないは関係のないことです。

nakagi1956さん、こんにちは。

家族手当の返金云々もですが、１０３万円を超えたとなると、奥様の申告も必要でしょうし、心中お察ししますが、きっちりと対応するしかないでしょう。
私は青色申告の個人事業をしていた頃に、妻を青色事業専従者としておりましたが、ギリギリも怖いので、年間９０万くらいに抑えていましたし、今は株式会社で、妻も若干手伝いをしておりますが、１０３万円のラインは常々意識しています。
他に働いてもらっているパートさんなんかも、下手に課税対象になると本末転倒なので、超えないように注意しています。

それがあなたの会社の規定である以上、どうしようも無いのでは？

例外を作ればキリが無いですから・・・・
わたくしごとですが、私の妻が扶養内で働いていたときは、必ず余裕を持たせていました。（100万以内）
あなたのようにアクシデントが無いとも限らないのでね。

他の人から見たら「あの人の奥さんは103万越えたのに扶養手当もらっているのはおかしい」と問題になったらあなたが責任を取れるのでしょうか？