このサイトのサインイン

質問者さんは以前登録されていたサイトでイヤというほど「環境を明示しろ」と言われていたはずですが

>このサイト
という表現だけでは
http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=103115&eve …
このリストの中のどれのことだかわかりません。
パートナーサイトの全てに通じているユーザーはまずいないでしょうから、お答えできるユーザーもいないでしょう。
メインのOKWaveについてなら
http://photozou.jp/photo/photo_only/194205/26624 …
で記されている通りです。
おそらく別の表現をしないと理解できないでしょうから、表現を変えてみると、「手動のログアウトまでパスワードを記憶」にチェックを入れなかった場合は、ログイン状態でサイト内を移動できるのは2時間の間に限定されることなります。しかし、チェックを入れてもブラウザを起動し直すたびにログインを求められることになります。
つまり、
>ＷＩＮＤＯＥＳ立ち上げ都度このサイト開くとサインイン要求されます。
全角な上に綴りが違いますがアタリマエの動作です。お望みのことには対応していません。数回のリニューアルを経てセキュリティ上の理由からこういう仕様になり、以前の仕様に退化することはたぶんないでしょう。
他のパートナーサイトのことはわかりません。
もし、まことしやかな回答をしているユーザーがいるとしれば、それは嘘か勘違いかエスパーのどれかです。
その信憑性を確認するにはハンドルでweb検索するなど…についても質問者さんは前に登録したサイトで学んだことと思われます。

マイページへのログインではないですよね？

マイページは最長でも２時間しかログイン状態へ保持できないです。
マイページの話ではないなら、Cookieがおかしいのかもです。
設定をリセットしましょう。
http://support.microsoft.com/kb/923737/ja

尚、通常でも一定期間経過すると再度ログインを求められる事があります。

ＩＤを記憶するにチェックする。

閲覧後、ページでログアウトしない。