小説以外の本を出版

「○○賞」というのは、入賞した作品を本にして売れそうなものを当選作品にするのですから、とうぜん出版されます。

小説などでなくても、ノンフィクションの懸賞というのもあったと思います（具体的には調べれば分ると思いますよ）。

「出したい」と言われるからには、既に原稿は仕上っているわけですね。
出版の仕方としては、確実なのは、自費出版という方法だろうと思います。
知人に配るなどがせいぜいで、一般の商業ベースに乗せるのはむつかしいだろうとは思います（それでも形としては残ります）。
私もそのようにして出版された本を手にしたこともあります（ただ、専門の編集者などの手を経ていない分、私には未熟な内容に感じられましたけれども）。

それか、雑誌などの原稿募集に応募して評価され、注目されるようになれば、その雑誌（出版社）から原稿を依頼されるようになり、本来出版したいと思っていた原稿の出版につながることがないとは限りません。
どんどん原稿を書いては投稿しまくる必要がありますね。

それから、これはネットの上で読んでいるあるブログを書いている人の例ですが、ブログの内容が面白いので（小説ではありません）、出版社の方から声がかかって、本が出版された人がおられます。
そうして、その人は、今も引き続きネットの上で書き続けておられます。
ネットの上で自分の出した本の宣伝を出している人もおられますから、自費出版であっても、ネットの上で購入希望者を受け付けることも出来ないことはないでしょう。
ただし、それなりに注目され、アクセスをかせげるような内容のものを書く必要はあります。

自分のホームページで紹介するとかはどうでしょうか。

人気が出れば、誰かが出版してくれるかもしれません。
ホームページは、ホームページビルダー１２で
作ればいいと思います。

・自費出版

出版社に費用を支払い、書籍にしてもらう。
確実に本に出来るが、売れるかどうかは自分次第です。
http://www.jihishuppan.com/

・企画持ち込み
出版社に企画として持ち込みを行う。
つてがあるか、企画力がなければ本にならない。
企画の手助けをしてくれるNPOもあるようです。
（詳細不明）
http://tamagoyasan.net/

以上、ご参考までに。