質問
質問者：miraise ダークマターと銀河の渦の数学的関係
困り度：
  • 困っています
 まずはじめに、物理にはあまり詳しくありません。

「渦巻銀河について物理的に考察すると、渦巻銀河はあのような形にはならず、もっと渦巻いているのではないか。」
↓
「渦巻銀河の円盤上にダークマターが存在すると仮定すれば、現在よく見る渦巻銀河の形に落ち着く。よってダークマターの存在が推測できる」

と雑誌で読んだのですが、

等速円運動の場合、角速度ω(=δθ/δt)を使って、
円盤上の一点の運動は、
v = rω
a = mrω^2(これは銀河の中心に引っ張られる力とつりあう)

と書けることは調べてわかったのですが、円盤上に架空の質量ダークマターがあれば・・・というのは、mの値が大きければ、ということでしょうか？

mの値が大きくても、円盤上での一点の速度vは変わらないので銀河の渦巻きの度合いには関係ないような気がするのですが、数学的に教えてください。
よろしくお願いいたします。
質問投稿日時：09/08/09 22:33
質問番号：5194757
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回答

 
回答者：lycaon lycaonです。

整理すると、

#4：ダークマターがあれば定速回転になるという式が出ず、”ちょっと困っているところです。”

#6：現実に周辺部は定速回転しているが、それを表す式(3)(4)は、ダークマターを仮定しないと光度から見積もられる質量に合わない。

なるほど、#4は、考えが逆でした。#6ですっきりしました。
種類：回答
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：09/08/13 16:46
回答番号：No.7
この回答へのお礼たびたびご回答ありがとうございます。
この議論は私にはまだ荷が重いようです。
私の結論としては、「結局、よくわからない」という状態ですが、科学は好きなので、これからも少しずつでも勉強していきたいと思います。

回答

良回答20pt
回答者：uto-pia まず、銀河円盤部分の定速度回転（いわゆるフラットローテーション）の話から。

銀河を十分に薄い回転対称な円盤であると仮定すれば、
銀河中心からr離れた円盤上の点におけるKepler速度V_kは
V_k=√(G*M(r)/r) ・・・(1)
である。

M(r)はrより内側にある質量の総和であり、質量面密度をΣ(r)を用いて、
M(r)=∫2πr'Σ(r')dr' (積分範囲はr'=0からr'=rまで) ・・・(2)
である。

V_kが定数であるためには、(1)より
M(r)∝r ・・・(3)
すなわち、(2)より
Σ(r)∝1/r ・・・(4)
でなければならない。

しかし、観測された光度から見積もられる質量は(3)や(4)に全然足りない。
そこで、質量は持っているが観測には掛からない物質があるのではないかと考え、
それをダークマターと呼んでいるのである。


次に銀河の渦巻きの話。

円盤はフラットローテーションしているのだから、
剛体回転ではなくて差動回転ということになる。
すなわち、渦を実体の腕と考えると、時間が経つにつれて渦を巻くのであるが、
銀河年齢（100億年くらい）ほどたつと30巻き以上になってしまい、
観測と合わない。

そのため、渦の腕は実体の腕ではなく、
密度波（星の渋滞のようなもの）と考えられている。
ただし、渋滞だけでは5％くらいしか明るくならないので、
渋滞の入り口で寿命の短い星が大量に生まれ、
渋滞を出るころには寿命を終えているのではないかと考えられている。

渦巻きの話はダークマターとはあまり関係がないように思える。
種類：アドバイス
どんな人：経験者
自信：参考意見
回答日時：09/08/12 17:30
回答番号：No.6
この回答へのお礼ご回答ありがとうございます。
やはり私の物理力ではちょっと荷が重いようです。
ただ、宇宙はやっぱりまだまだ未知なんだなぁと感じるには十分でした。
素人ですが、これからも科学に興味をもって生きたいと思います。

回答

良回答10pt
回答者：lycaon lycaonです。

>実験式だったらどうしよう
面積速度一定の法則の導出方法は、No3に紹介したURLの「ケプラーの法則と万有引力」に詳しく載っています。
発見当初は経験則だったでしょうが、ニュートン力学で証明されています。

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(1)【剛体回転、Ｖ∝ｒ】バルジはＣＤと同じ剛体回転で、ケプラーの面積速度一定の法則にはモロに違反します。
理由は #4 の論理でよいはずです。
（幾ら専門家だって、三体問題ならぬ2000億体〜3000億体問題を、私と似たような近似なしでは解けませんから、近似精度に大差はあっても、考えは同じでしょう。）

(2)【ケプラー回転、Ｖ∝1/√ｒ】渦巻銀河周辺部は、暗黒物質が無ければ、ケプラーの面積速度一定の法則で回転する筈です。この予想は放送大学等で確定的に講義されており、かつ現実がケプラー回転ではないので、暗黒物質の存在が仮定されたようです。（暗黒物質については、他にも重力レンズとか色々なシルシがあるようです。）
周辺部が面積速度一定の法則で回転すべき理由は放送大で触れられず、ネットで少し探しましたが見つからなかったので、自分の推定を#3で述べました。
太陽系と同じく、巨大質量の周辺にまばらに存在する星の運動は、他の星の影響を受けない、つまり２体問題で近似できる筈だ、というもの。
（この推定が間違いならネットでは直ちに反論が押し寄せる筈なのに、来ないところを見れば、基本は正しいんでしょう。）

(3)【定速度回転、Ｖ＝const】実際の渦巻銀河周辺部は、暗黒物質があるため、上のどちらとも違う回転をしています。
その理由は、周辺部の暗黒物質が中途半端な質量を持つので、結果的に星も (1)と(2)を加えたような運動になるだろう、(1)V＝ａ・ｒ(直線）と(2)V＝ｂ/√r (双曲線)を単純に足すと、うまく定数を選べば (3)V≒c（V軸に平行な直線）になると「言えなくもない」んですが、「単純に足す」意味が不明で、ちょっと困っているところです。

つまり(1)(2)は説明できたが、そもそもの本題の(3)、渦巻銀河の渦の運動を、スマートに数式で説明できません。
定速度回転を証明なしで認めてしまえば（つ〜か、現実がそうなってるんだから認めればよいだけですが）銀河の渦は時間の経過とともにどう伸びるかは、容易に計算できる筈です。

えっと、待てよ？？　いや、容易ではないです。
渦が銀河の外側に伸びて銀河の直径が拡大するかどうかは、動径方向の速度を議論せねばならない。今までの速度Ｖはすべて円周方向の話で、動径方向の速度については、私は知識がゼロでした。
むむ、暗黒物質の有無で、渦はどう変わるんだ？
（興味本位で素人が取り組むと、こんな風にすぐ足踏みします。）

---------------------
なお暗黒物質の正体は、ニュートラリーノ、アクシオン、ブラックホール、アインシュタインの宇宙項（＝真空のエネルギー）とか記載されていて、何がなんだか判りませんが、どうやらまだ混沌らしいので・・・とても楽しい。
暗黒エネルギーと並び、こんな宇宙最大のミステリーは、少なくもあと50年は解明などされて欲しくないです。
種類：回答
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：09/08/11 04:38
回答番号：No.5
この回答へのお礼ご回答遅れてしまい申し訳ありません。
お盆で帰省していたものでネットにつながる環境にありませんでした(すみません・・・)

9:00をまわってしまいましたので、手短に。
残りは帰宅後に書かせていただきます。

ざっと読んで、印象に残った言葉を。
>なお暗黒物質の正体は、ニュートラリーノ、アクシオン、ブラックホール、アインシュタインの宇宙項（＝真空のエネルギー）とか記載されていて、何がなんだか判りませんが、どうやらまだ混沌らしいので・・・とても楽しい。
>暗黒エネルギーと並び、こんな宇宙最大のミステリーは、少なくもあと50年は解明などされて欲しくないです。

そうですね、私も物理は高校レベルしかなく疎いのですが、宇宙・素粒子の問題って、考えれば考えるほど楽しいですよね。
まったく同感です^^;

回答

 
回答者：lycaon #2、3 lycaon です。
#3 の仮説が正しいか、思いのほか計算が簡単でしたので、検証しました。

半径 Ｒ、全質量 Ｍ の渦巻銀河バルジ部分（球と見なす）の中心から ｒ だけ離れた質量 ｍ の恒星緑丸に働く力は、

【万有引力】
​http://cfv21.web.fc2.com/cfv21/phys/univgrav.htm​　
より、半径 ｒ の球の質量が中心に集まったとして計算。
Ｇ＝6.6726×10＾-11（m^3/kg/s)＝万有引力定数　
ρ＝３Ｍ／（４πＲ^3）：密度
を Ｆ1＝(４／３)πＧρｍｒ　に代入して、

Ｆ1＝ＧＭｍｒ/Ｒ^3　・・・(1)
ここで　ＧＭ/Ｒ^3＝バルジの質量と半径のみによる、つまり銀河ごとに定まる定数

【遠心力】
Ｆ2＝ｍｒω^2・・・(2)

【角速度ω】
Ｆ1＝Ｆ2　より、ｍ・ｒ・ＧＭ/Ｒ^3＝ｍ・ｒ・ω^2
ω＝√｛ＧＭ/Ｒ^3｝・・・定数

なんと、バルジ部分では、恒星は角速度一定の剛体回転をすることが、（静止衛星からの怪しげな類推ではなく）計算で、証明できてしまいました。
種類：回答
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：09/08/10 16:01
回答番号：No.4
画像
この回答へのお礼ご回答ありがとうございます。
わざわざ計算までしていただいて感謝です。

バルジ(銀河の中心の丸くなっている部分)の角速度ωは、定数なので、
CDを回転させたときのように、中心に近くの点は遅く、中心から遠くの点は早く動く、ということでしょうか。

これは、ケプラーの面積速度一定の法則には違反しないんですね。
面積速度一定の法則から、回転中心の知覚の点は早く、遠くの点は遅く移動している、だから渦巻きができる、と納得していたのですが、よくわからなくなってしまいました。

ちょっと私にとってはまだ荷が重かった話題のようです。
面積速度一定の法則の導出方法から勉強しなおしてきます。計算で導かれた理論式なのか、観測から得られた実験式なのかわかりませんが、実験式だったらどうしよう。。

物理は好きなんですけど、できないって悔しいですね。がんばって勉強してきます。

回答

 
回答者：lycaon #2です。天文学はズブ素人ですが、面白そうなので少し考察しました。

ケプラーは太陽を回る惑星の運動を3法則にまとめ、後にニュートンが万有引力からそれらを導きました。
計算機がなく三体問題は解けない時代に彼らが導いた法則は、結局のところ、二体問題を解いたに過ぎなかった筈。
（ ​http://www.ishikawa-nct.ac.jp/lab/E/seto/www/files/Kepler.pdf​ ）

それが太陽系惑星によく当てはまってきたという事実は何を物語るか？
推測するに、つまりは中心の太陽の質量が各惑星に比べて桁外れに大きいため、一つの惑星の運動に及ぼす他の惑星の影響が無視できたからに相違ない。
中心に大質量の恒星があれば、その周りの惑星は、他の惑星の存在を無視してニュートン力学から導かれる Ｖ∝1/(√ｒ) のケプラー型回転をするのであろう。

この理屈を渦巻銀河の外縁部に適用すればよいであろう。
外縁ディスク部は中心部よりも疎らに恒星が配置されているので、バルジ（渦巻銀河中心部の膨らみ）と言う巨大な質量中心の周りに各恒星はケプラー型回転するのであろう。

しかし暗黒物質があれば、なぜ定速度回転になる？
それは脇において、バルジ内部の恒星が剛体回転する理屈を探るほうが優先課題。

銀河中心部の恒星は密に詰まっており、遠心力が働かなければ万有引力だけが強く働いて合体してしまう筈。
遠心力を生むために、銀河中心の周りを多数の恒星が回っているのであろうが、太陽と惑星の関係と違って今度は巨大な恒星同士がいわば肩を並べて公転している。

近接する多数の恒星群の影響を受けつつ一定の軌道を公転するには、剛体回転になるしかない、と果たして言えるのか？

バルジの中を公転する1個の恒星を図↓の緑丸で示し、その周囲の天体は緑丸より内側を球、外側を球殻で近似して、緑丸に及ぼされる引力と緑丸の遠心力が、緑丸の中心からの距離によらず一定の角速度になることを示せればよい。
多分、角速度は全体の質量で決まる一定値になるのであろう。
多分、その角速度以外の天体は、速ければ外に飛び出し、遅ければ銀河中心に向け落ちる・・・
その先で、丁度よい位置に来たら？　ふむ、結局どこかで安定軌道に入りますね。
次々と安定軌道に入って行けば、最後はみんな、一定の角速度で一斉に剛体回転している・・・うう、美しい宇宙観。。。

と、ここまで推測して仮説は出たものの、計算が面倒そうですので、それに代えて。
今、外側の球殻を無視し、内側の球が（恐らく全体の質量で決まる）ある角速度で回っているとき、その上空にある天体緑丸が落ちもせず去りもせず球の中心から一定高度で周回できる条件は？
地球の赤道上を回る静止衛星と同じ条件、つまり、内球と同じ角速度を持つことであろう。それなら引力と遠心力が釣り合う。

ふむ、バルジ内の星は一定の角速度で回ることになると、一応もっともらしく説明できたと思いますが、ここまでで既に間違いがあるかも。
外側球殻の影響を無視したのも気になりますが・・・ま、私的には、ここまでで十分です。
種類：アドバイス
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：09/08/10 07:42
回答番号：No.3
画像
この回答へのお礼この回答にお礼をつける(質問者のみ)

回答

 
回答者：lycaon >「渦巻銀河の円盤上にダークマターが存在すると仮定すれば、現在よく見る渦巻銀河の形に落ち着く。よってダークマターの存在が推測できる」

放送大学「進化する宇宙13 宇宙の階層構造」でこの件のお話がありました。

宇宙の物質の85％をダークマターが占めている。
身近な証拠として、渦巻銀河（回転している）を、中心の星が密集したバルジ部分と、周辺のディスク部分に分けたとき、
バルジ部分は、剛体のように中心からの距離に比例して回転する（銀河の中心から星までの距離をｒ→回転速度Ｖ∝ｒ）が、
周辺部分は、ダークマターを仮定しなければ、中心から離れるほど遅くなるという、ケプラー回転をする（Ｖ∝1/√ｒ）筈である。
しかし実測によると、周辺部分は回転速度が距離によらずほぼ一定値をとっている。
（放送大の画面の図では、中心からｒ＝7 kpcまでほぼ直線的に回転速度Ｖが増し、そこで約150km/sに達してからＶが横這いとなる。）
この差は、ディスク部分に目に見えない大質量が存在すると仮定すれば、説明がつく。

（同様の図→wiki「銀河の回転曲線問題」　​http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%8A%80%E6%B2%B3%E3%81%AE%E5%9B%9E%E...​）

ダークマターは正体不明で、殆ど重力のみで感知でき、宇宙の物質密度の大部分を占め、運動エネルギーは小さく（cold dark matter と言われる）、銀河の周りに見えないハローとして存在し、銀河団にもガスの10倍程度存在し、宇宙の大規模ネットワーク構造を重力的に支えている、そうです。
----------

ところで宇宙の泡構造（cosmic web）をネットで検索しても、2次元静止画は見つかりますが、あまり美しくない。
（例： ​http://www.google.co.jp/imgres?imgurl=http://web.ipac.caltech.edu/s...​ ）
講座の後半で、3次元シミュ動画が示されました。
NHKでも前に見たことがあり、無数の銀河団が蜘蛛の巣のように絡み合って宇宙空間を回る姿は、壮大です。
ネットでも3次元動画がどっかにないかな〜？
種類：回答
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：09/08/10 00:50
回答番号：No.2
この回答へのお礼この回答にお礼をつける(質問者のみ)

回答

 
回答者：yokkun831 >a = mrω^2(これは銀河の中心に引っ張られる力とつりあう)

ma=mrω^2　ですね？

数学的に・・・というと不十分かもしれませんが・・・。
mは恒星など見える物質の質量と考えた方がわかりやすいと思います。
恒星はダークマターからも重力を受けることになるので，銀河内にダークマターの質量分布を仮定すると，恒星は銀河中心から引かれる力とダークマターから受ける力との合力を受けることになって，渦の巻き方が実際と合うようにできますよ・・・ということです。つまり，定性的には
ma = 銀河中心の引力 + ダークマターからの力
ということになるでしょう。長期的にはダークマターからの力は半径方向とは限りませんから，中心方向の加速度を単純にa=rω^2と書けるのは恒星が円運動を行う定常状態を仮定した場合のみになります。
種類：アドバイス
どんな人：一般人
自信：参考意見
回答日時：09/08/09 23:38
回答番号：No.1
この回答へのお礼ご回答ありがとうございます。

>ma = 銀河中心の引力 + ダークマターからの力

で、銀河方向に引っ張られる力だけでシミュレーションとか？すると、渦の巻き方がぐるぐるになってしまうが、

そこにダークマターからの力を仮定することで、シミュレーションすると、渦の巻き方が現在の見た目と同じようになる。

ここで、ダークマターは、銀河の中心方向に引っ張る力だけではなくいろいろな方向にひっぱる力として働く。

という感じでしょうか。
シミュレーション？なのかわかりませんが、そのあたりが手計算で出せたら気持ちいいな〜と思いますね。

でも調べてみたら、三体以上の物の間の力を方程式にきちんと書き下すことはできないみたいですね。三体問題とかいうらしいです。。やっぱりシミュレーションなのかな。残念。。

あと、蛇足ですが、北半球でお風呂の栓を抜くと、右巻き？になりますよね。で、南半球だと左巻き。これは地球の自転の影響だと聞きました。

銀河も右巻きと左巻きがあるようですが、もし宇宙が自転してたなら・・・とか想像すると面白いですね。
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