東京駅から京都駅までの格安旅行。

どの程度の「格安」をお求めなのか分かりませんが、1泊一人旅なら、ある程度時間を取るのであれば、JR東海ツアーズの「シングルルームプラン」をおすすめします。

この場合、列車と宿が自由に選べます。但し、利用列車・利用日及び時間帯と宿泊日により値段が変わります。
列車に関しては、「のぞみ」「ひかり」「こだま」の別、及び「のぞみ」「ひかり」に関しては曜日毎・時間帯毎に代金が異なります。一般的に週明け早朝と朝夕（毎日）、金曜のぞみ（全日）・ひかり（夜間）が高く、早朝・日中・夜間が安くなっています。これらの代金区分は下りは東京発が基準ですが、上りは京都発ではなく新大阪発が基準ですので、お間違えのないよう。

詳細はパンフレットにて。
電子パンフレット
http://www.jrtours.co.jp/domestic/ebook/shutoken …

なお、「ぷらっとこだま」は、宿泊代金とこだま利用に限定されることを考えると却って割高になりますので、おすすめしません。

　1泊なので、移動のスピードも大切ですね。

となると…、移動は過去ログでも多く出ていますがJR東海の「ぷらっとこだま」が定番です。
http://www.jrtours.co.jp/kodama/

　宿泊はネットで検索すると、意外と安く6,000円台からあります。楽天トラベル、yahooビジネスで検索してください。立地、部屋の広さで、朝食で価格は変わります。個人的には朝食の差を比較しています。最低でも「和洋バイキング」は欲しいですね。「朝食サービス」は、焼いただけの食パンとコーヒーですが、一応朝食にはなります。「朝食なし」の場合でも前日にコンビニで買っておけば、それなりのものが食べれます。質問者様の好みですね。

　さて、実は京都は夜がおもしろいのです。先斗町、祇園とか…。　格安ですと、それは難しいですね。そこでお奨めしたいのが、京都市交通局の「華やぐ京の夜」コースです。ドイツから来た方に同行しましたが、ウケは最高でした。
http://www.city.kyoto.lg.jp/kotsu/index.html
　日中に寺などの定番スポットを観光して、夕方に京都駅に向かいます。ギオンコーナーで京文化のダイジェストを楽しんで、夕食も楽しめます。値段以上の価値があると思います。

　2日目の日程はは、少し余裕を見ておくと良いと思います。京都御所はおさえておきたいですね。宮内庁へ予約が必要です。
http://sankan.kunaicho.go.jp/about/kyoto.html

　帰りの時間に余裕があるなら、博物館もおもしろいです。「国宝」と案内があると、それだけで「う～ん」と見てしまいます。
http://www.kyohaku.go.jp/

　さて帰りですが、ぷらっとこだまでグリーン車の予約をお奨めします。プラス1,500円ですし、その後の疲れも違ってきます。

では、よいご旅行を。

一番安いのは金券ショップで１８切符を２枚入手することでしょう。

http://www2s.biglobe.ne.jp/~sakana/18kippu.htm
往復５０００円程度で行って帰って来れます。
ただし、特急には追加料金を出してものれず鈍行のみの利用なので
かなり時間がかかります。だいたい９時間
http://www.jorudan.co.jp/nori07/cgi-bin/noritop. …
これを指定料金と追加料金を払って夜行のムーンライトながらなど
にするともう少し時間が有効に使えます。
http://hit.vis.ne.jp/nagara/
http://www.jorudan.co.jp/nori07/cgi-bin/noritop. …

素直に夜行バスに乗る。という手もあります。
http://www.bushikaku.net/kyoto.htm
こちらは片道３３００円台からあります。
考えなくて済むのと便数が多いので便利です。

こういうのもご参考に
http://souda-kyoto.jp/express/index.html

京都の安い宿
http://dicube.co.jp/search/yomi.cgi?mode=kt&kt=0 …

まず誰しもが考え付く「青春１８きっぷ」利用。

現行時刻表によると、東京発の始発５時２０分発→寄り道せず全部各停（新快速など青春１８きっぷ利用範囲内）で京都着１４時１３分着となります。ここから著名な社寺に向かうのはかなりの緻密なスケジューリングを余儀なくされます。帰路も当日中に着こうと思ったら、京都駅には最低１５時３０分には着いておかないといけません。
京都市内の格安宿泊施設は他の方のご提案を待ちたいですが、一人というのであればカプセル、もっと安く仕上げたければネットカフェということになりますが、これはあくまで参考に。