介護認定は他県でも使えますか？

現在都内で一人暮らし母（９０歳）がおります、要介護４級の認定を受けて介護支援を受けています、自分は仕事の都合で離れており（隣の神奈川県）住民票も神奈川です、介護業者の方が一日３回（トータル3時間程）きてくれます、自分も週に１回から２回　妻と交替で世話に行っております。
母の症状が進んできて「現在でもやっと」の状態なので、今後　自分の「家」　又は「近くにアパート」を借りて　こちら（神奈川）面倒を見ようと思います。
その場合
＊現在の介護認定をそのままこちらでも使えるのでしょうか？

＊現在「区」から受けてる支援・補助（オムツ等）はそのまま区から継続して受けられるのでしょうか？

＊介護サービスを提供する「業者」が請求が重複しなければ２箇所（東京・神奈川）でもOKでしょうか？

＊または新たに此方の市で取り直すのでしょうか？

○母の住民票はそのまま東京にしたままにするつもりです。

○実家（東京）には症状の具合で年の内２～３ヶ月は戻れそうです

○今回　症状が進んだ原因は骨折をして体力が落ちたせいではないかと思っています、そばで面倒が見れれば体力が回復して少しは（部屋の中で）歩けるようになるのではと思ってます、記憶は結構「ボケてます」が目・耳・口は達者です。