dy÷dx

>過去の質問等を見て lim という操作をしているから分数ではないと考えたのですが、

初学者のうちはこの理解で正解．
dy/dx はあくまでも，Δy÷Δx のΔx→0での極限が定義であり
「分数のような形」で表記されるひとつのものです
（導関数・微分係数のように呼ばれるもの）．

ただし，こういう記号にしているのは，
こう書くと計算上とても便利なことが多いから．
もうちょっと勉強すれば
逆関数の微分がでてくるでしょう．
「逆関数の微分」は「分数の逆数」のように扱えます．
ほかにも「合成関数の微分」は「分数の約分」に相当します．
これらが基礎付けとなって，微分は分数のように
形式的に計算できることがあります．
しかし，通分に相当することはありませんので
普通の分数とは異なるものです．

実は，もっともっと勉強していくと，
「単独の」dxやdyの定義もでてきますが，
大学の内容になりますし，それなりに厄介です
（一見異なるいろいろな定義があったりするので厄介）．
そこまで勉強してやっと，導関数が
「dxとdyの分数」と計算していいという
数学的な裏づけができます
（それでも「通分して足し算」に相当するものはないし，
考えることそのものが意味を持たない感じです）．

分数と考えてよいのではないでしょうか。

「Δｙ」＝「デルタｙ」＝「ｄｙ」＝「ｙの超わずかな増加量」です。

直線の傾きは、ｙの増加量/ｘの増加量で求めました。
Δｙ/Δｘは、超わずかなｙの増加量/超わずかなｘの増加量という意味で、
これを使って、曲線に接する接線の傾きなども求められるのです。