育児休業給付金の振込み時期

２児の母で、仕事で人事を担当しています。

育児休業給付金を会社を通して申請する場合は、「支給単位期間の初日から起算して４ヶ月経過する日の属する月の末日まで」に申請すればよい事になっています。
↑はハローワークの資料記載の文章そのままなので、判りにくいんですけど（汗）・・・つまり、質問者さんは１０月１６日が育休初日に当りますので、それから起算して４ヶ月経過する日は２月１６日ですね。「その日が属する月の末日」が申請期限になるので、２月２８日までに申請すれば良い訳です。
社労士さんは色んな会社の社会保険事務を請け負ってらっしゃると思うので、何度も申請に社会保険事務所へ出向くよりも一度で済ますために、期限ギリギリまで申請を待たれているんじゃないかと思います。
どうしても早く申請してもらいたい場合は、育児休暇を開始してから２ヶ月経過すれば初回の申請はできるはずなので、その旨伝えて早めに申請してもらってもいいかと思いますよ。