log(coth(x))dxの区間 0≦x＜∞の定積分　

懇切丁寧な、ご回答をいただきありがとうございます。
やっと自分の中で回答の糸口が見えてきました。
しかし、少し理解できない部分がありますので、以下に分かった部分の確認と質問をさせて頂きました。
お忙しいところ恐縮ですが、ご回答いただければ幸いです。
(1)について
　log(x)=Ln(x)/Ln(10) となることから、Ln(10)を省いて Ln(coth(x)) について考えるという理解ですが、よろしいでしょうか。

(2)について、以下の計算で合っているでしょうか。　　
　(1) = Ln( cosh(x) / sinh(x) ) = Ln( (e^x+e^(-x) ) / ( e^x-e^(-x) ) )
　= Ln( (1+e^(-2x) ) / (1-e^(-2x) ) = Ln( 1+e^(-2x) ) - Ln( 1-e^(-2x) )

(3)について、y=e^(-2x)とし、Taylor 展開
　Ln(1+y) = Σ{n=1 →∞} (-1)^(n+1) (y^n/n) = y-y^2/2+y^3/3-y^4/4+y^5/5-・・・ と
　Ln(1-y) = Σ{n=1 →∞} (-1)^(2n+1) (y^n/n) = -y-y^2/2-y^3/3-y^4/4-y^5/5-・・・　より
　Ln(1+y)-Ln(1-y) = 2 (-y^2/2-y^4/4-y^6/6-・・・) = 2Σ{n=0 →∞} (y^(2n+1))/(2n+1)
　の計算方法で合ってますでしょうか。

(4)について
　y=e^(-2x)を(3)に代入すると
　(2) = 2 Σ{n=0 →∞} e^{-2(2n+1)x}/(2n+1)になる。（ご回答頂いた通りです。）

(5)について
　Ln(coth(x)) = 2 Σ{n=0 →∞} e^{-2(2n+1)x}/(2n+1) ですよね？
　そこで、なぜ ∫Ln(coth(x)) dx = Σ{n=0 →∞} 1/(2n+1)^2 と導き出せるかが分かりません。
　ご教示いただきたくお願いいたします。

(6)について
　Euler 和については、まったく知りませんでした。この公式の導き方についてですが、
　以下のURLを見つけました。URLのとおりの導出方法は、かなり手が凝っており、更に少々難解です。
　この方法以外にもご存知でしたらご教示いただきたくお願いいたします。
　http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai3/kadai197a. …

(7)について
　m と n の関係が良く分かりません。なぜ
　Σ{n=0 →∞} 1/(2n+1)^2 = Σ{m=1 →∞} (1/m^2) - Σ{m=1 →∞} 1/(2m)^2
　と分けられるのでしょうか。導出方法をご教示いただきたくお願いいたします。

以上、小生の理解不足で申し訳ありませんが、ご教示いただきたくお願いいたします。

ご回答いただきありがとうございます。
教えてもらった方法で解けてほっとしています。
また、２つの解き方をご教示いただきありがとうございます。
オイラーの求め方の発想には驚きました。sin(x)の因数分解なんて思いもよりませんでした。
こちらの方は、理解できましたが、２番目の方は、小生には少し難解でした。
必要に応じて、新たに質問を立てようと思います。
懇切丁寧なご指導、ありがとうございました。

早速のご回答ありがとうございます。
懇切丁寧で分かりやすいです。
ただし、(6)のオイラー和についてのみは、小生にとっては難題です。
x^2のフーリエ変換をするのですね。
まず、大学時代の古い記憶と教科書を紐解くことから始めなければなりません。
しかも不得意分野です。。。。。。。。
まずは、自力で解いてみますので、今しばらくお待ちください。
解法のヒントだけでも教えていただければ幸いです。

早速のご回答ありがとうございます。
しかしながら、おそらくcoshとcothを間違われているのではないかと
思いますが、いかがでしょう。誤った理解をしていたら申し訳有りません。