パデ（Pade）近似

ご回答いただきありがとうございます。
小生の分かりにくい表現の文章で、困らせてしまい申し訳有りません。
『x = a の近傍において f(x) を r(x) で近似するために、
両者のテーラー展開の係数を 低次（0～n+m 次）の項について
一致させる。それは、x = a を f(x) － r(x) の n+m 位の零点
とするのと同じことである。』
すごく分かりやすいです。
また、注意書きとして
『係数を一致させるのは f(x) と r(x) であり、
零点が一致するのは f(x) － r(x) と
(Σa_i x^i) (Σq_i x^i) － Σp_i x^i です。
x = a が f(x) や r(x) の零点になる訳ではありません。』
とご親切に付け加えていただいたので、さらに理解が深まりました。
ありがとうございます。
最後に有理式の基本事項なのかも知れませんが、小生『既約』の
意味について分かりません。
WEBで調べた結果、そのものはありませんでしたが、
『それ以上約分できない分数』との理解でよろしいでしょうか。
度々申し訳有りませんが、よろしくお願いいたします。

ご回答ありがとうございます。
懇切丁寧なご説明をありがとうございます。
既約の意味も良く分かりました。
ありがとうございます。

ご回答をありがとうございます。
懇切丁寧で分かりやすくご説明いただきありがとうございます。
ご回答頂いた(1)～(3)については理解できました。
ようやく、全体が分かってきました。
しかしながら、1点疑問があります。
おそらく最後の質問になると思いますのでよろしくお願いします。

(1) 『f(x)－r(x) が x=0 で N+1 個の零点をx=0で持つことと
　同じである。したがって、q_1, q_2, …, q_m, p_0, p_1, …, p_n
　をΣ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i
　が次数 N 以下の項を持たないように選ぶことができる。』
　と原文にありますが、小生の理解では、r^(k)(0) － f^(k)(0)＝0
　とは第 n+m 次項における係数を一致させることと理解しました。
　でないと、その次に係数の方程式に結びつかないのですがいかがで
　しょうか。
　「零点を一致させること」＝「係数を一致させること」
　でしょうか。

(2)いまさらですが、原文にある
　Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^iｑ（ｘ）
　はf(x)－r(x)の右辺
　[Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^i]/q(x)
　の誤記ではないでしょうか。

ご回答いただきありがとうございます。
小生の質問(4)については了解しました。ありがとうございます。
しかしながら、相変わらず理解できない点があります。
お時間のあるときで結構ですのでよろしくお願いいたします。
(1)(Σ{i=0,∞}a_i x^i)×(Σ{i=0,m}q_i x^i)＝Σ{k=0,∞}(Σ{i=0,k} a_i q_k-i)x^kについて
分配法則を使うとのヒントを頂き次の計算を行ってみました。
(Σ{i=0,∞}a_i x^i)×(Σ{i=0,m}q_i x^i)＝(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+…)×(q_0+q_1 x+q_2 x^2+q_3 x^3+…+q_m x^m)
ここで係数はxの次数毎に次のようになります。
x^0：a_0
x^1：a_0 q_1+a_1 q_0
x^2：a_0 q_2+a_1 q_1+a_2 q_0
x^3：a_0 q_3+a_1 q_2+a_2 q_1+a_3 q_0
これをx^kまで行うと
x^k：Σ{i=0,k}a_i q_k-i
ここで質問です。
Σa_i x^iの範囲は0～∞、Σq_i x^iのiの範囲は0～mまでです。
kの範囲は0～n+mと定義されております。なのに
Σ{k=0,∞}(Σ{i=0,k} a_i q_k-i)x^kにおいては、内側のΣの範囲は、q_i x^i の級数の範囲0～mを超えてkと同じ0～n+mの範囲になっており、さらに外側のΣの範囲は無限大にまでなっています。
なぜでしょうか？

同様の疑問はΣ{i=0,n} p_i x^iについてもあり、混乱してます。

(2)原文において、「q_1,q_2,…,q_m,p_0,p_1,…p_nをそれぞれのk＝0,1,…,Nに対してf^(k)(0)－r^(k)(0)＝0が成立つように選んでやればよい。」とあります。なぜ、f^(k)(0)－r^(k)(0)＝0が成立つように選ぶとよいのでしょうか？

(3)原文において、上記(2)のつづきで、「これはf(x)－r(x)がN+1個の零をx＝0で持つことと同じである。」とありますがなぜ、f(x)－r(x)がN+1個の零をx＝0で持つことと同じなのでしょうか。

原文の意味を深く考えることもなく質問していた部分があり、申し訳ありません。ご存知でしたらご回答をお願いいたします。

ご教示ありがとうございます。
ご回答いただいた中で、さらに分からない部分があり、四苦八苦しております。
小生の理解不足で申し訳有りませんが、お時間のあるときで結構ですので、以下の各項についてご教示いただきたくお願いいたします。
（質問毎にご回答いただく際、便利なよう番号を振ります）
(1)ご回答の(2)で
　(Σ{i=0,∞}a_i x^i) (Σ{i=0,m}q_i x^i) ＝ Σ{k=0,∞} (Σ{i=0,k} a_i q_k-i) x^k
　と展開できる計算過程がわかりません。
　お手数をおかけして申し訳ありませんが、導出過程をご教示いただきたくお願いします。
(2)やはりご回答の(2)において
　後方の － Σ{i=0,n} p_i x^i と併せて、
　『 すると x^k の係数は Σ{i=0,k} a_i q_k-i － p_k と表せる。』
　ここまで導出する過程が分かりません。

(3)例題の件については分かりました。しかし、例題では(右辺)＝０の等式になっているので結局、Σ{i=0,k}a_iq_k-i－p_k＝0という方程式が導かれるのではないでしょうか。

(4)上の質問とかぶるかもしれませんが、原文では、f(x)をr(x)で近似しています。よって小生が考えたのは、
f(x)－r(x)≒0となりますよね？
ここでf(x)＝Σ{i＝0,∞}a_ix^iだから原文の式を参照すると
f(x)－r(x)＝[Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i]/q(x)≒0
右辺の分子＝0とすると
Σ{i=0,∞} a_i x^i　Σ{i=0,m} q_i x^i － Σ{i=0,n} p_i x^i＝0
とならないと後の式の導出がどうしてもできないのではないかと疑問に思いました。この疑問点についてもご回答いただければ幸いです。

以上、何度も申し訳有りませんが、よろしくお願いいたします。

ご連絡ありがとうございます。
ご指摘のとおりです。URLの例題の計算が出てきました。
またURLの中で以下の誤記があると思われますがいかがでしょうか。
小職の思い違いであれば申し訳有りませんが、以下のとおりであるとすれば、納得行きます。
(1)上から５つめの式
Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^iｑ（ｘ）＝0
→Σ{i=0,∞}aix^i×Σ{i=0,m}qix^i－Σ{i=0,n}pix^i＝0（q(x)は誤記）
(2)上から６つ目の式
　(Σ{i=0,k}aiqk-i）－pk→(Σ{i=0,k}aiqk-i）＝pk
（この式がどうやって導かれたか分かりません。もしご存知でしたら、ご教示いただきたくお願いいたします。）
(3)上から７つ目の式
　→(2)同様に"－"は"＝"の誤記
(4)e^-xの例題の解答１番目の式
　→(2)と同様"－"は"＝"の誤記
(5)例題の解答のx^3の式
　-1/6+(1/2)q1-q2→-1/6+(1/2)q1-q2＝p3（＝p3が抜けている）
(6)例題の解答のx^2の式
　1/2－q1+q2→1/2－q1+q2=p2（＝p2が抜けている）
以上です。特に(1)の式がどうやって導かれたか、頭を捻ってみましたが、よく分かりません。
ご教示いただければ幸いです。

ご回答ありがとうございます。
参考URLを拝見させていただきました。
数学的に論理だって説明されていて他のサイトよりわかりやすかったです。ありがとうございます。
ただし、参考URLに偶然にも小生が質問に示したe^-xの例が載っているのですが、結果が合いません。
なぜ異なる結果になるのかが分かりません。
他のサイトでもe^-xのパデ近似が掲載されていますが、ご教示いただいたサイトの結果と合いません。
どうしてかご存知であればご教示いただきたくよろしくお願いいたします。
参考URL：http://www2.denshi.numazu-ct.ac.jp/~youhei/seigy …