RC直列回路の時間について

こんばんは。

非常に基本的なことなので、著作権侵害や課題の丸投げではないと見なして回答します。


電源Ｅ-------スイッチ------抵抗Ｒ---(Ｖ)-----｜Ｃ｜-------ＧＮＤ

コンデンサにたまっている電荷Ｑは
Ｑ＝ＣＶ　　・・・（あ）
よって、

抵抗の左側の電圧はＶ、右の電圧はＶ　なので、電源から来る電流をｉと置いて、オームの法則を適用すれば、
Ｅ－Ｖ　＝　Ｒｉ　　・・・（い）
ところが、回路は一本道なので、ｉは、コンデンサにたまる電荷の時間的変化と同じ。
よって、
Ｅ－Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ　・・・（い）’

（あ）より、
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ　・・・（う）
これを（い）’に代入すれば、

Ｅ－Ｖ　＝　ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ

という微分方程式の出来上がり。

（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　ｄＶ／（Ｅ－Ｖ）

ここで、Ｖ２＝Ｅ－Ｖ　と置けば、ｄＶ２／ｄＶ＝－１
よって、
（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　－ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）∫ｄｔ　＝　－∫ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）・ｔ　＋　Const.　＝　－lnＶ２
ｅ^(t/RC + Const.)　＝　１／Ｖ２
定数・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
と解けました。
ｔ＝０のときＶ＝０という初期条件を与えれば、定数＝Ｅです。
Ｅ・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
よって、
Ｖ　＝　Ｅ（１－ｅ^(－t/RC)）
と解けました。

ｔを求めるには、これの逆関数にすればよいので、
Ｖ／Ｅ　＝　１－ｅ^(－t/RC)
ｅ^(－t/RC)　＝　１－Ｖ／Ｅ
ｅ^(t/RC)　＝　１／（１－Ｖ／Ｅ）
ｔ／ＲＣ　＝　ln（１／（１－Ｖ／Ｅ））

ｔ　＝　ＲＣ・ln（１／（１－Ｖ／Ｅ））

積分の時定数で計算されます。

RC回路における時定数τ は、下記となります。

τ=RC
ここでRは抵抗（単位はオーム）、Cは静電容量（単位はファラド）である。

上昇において t = τ の時間が経過すると V(t) は0.63Vmax に等しくなり、時定数は Vmax の63%となります。

詳細は下記を参照ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%82%E5%AE%9A% …

http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/exp/titles/timec …

コンデンサーに蓄えられている電荷Q(t)に関する微分方程式を立てて、それを解くといいと思いますよ。