健康保険の手続きについて

こんにちわ。

保険等の手続きについてご質問させて頂きます。
（健康保険のカテゴリに書き込むには少々不適切かと思いますが、適したカテゴリがわからなかったので、ここに書きました。）

質問の前に、具体的に私の現状と今後の変化について書かせていただきます。（その流れに沿ってご教授いただけると幸いです）

現在、私は21歳男性会社員です。
今後、二ヶ月以内に会社を辞め、フリーターになります。
住まいも、現在の北海道から東京の知人の家にお世話になることになりました。

どのような手順で各種届出を出すのがいいのでしょうか。
保険や税金について、ほとんど知識がないのですが、現在給与から引かれている税金等については支払わなければいけないのかなと思っています。
（給与明細を見た限りで確認できる支払っているものは、【健康保険】【厚生年金】【雇用保険】【所得税】です。）

ご回答いただける方、お忙しいところ申し訳ございませんが、よろしくお願いいたします。