たんす株を証券会社に預けたい株の初心者です

６年ほど前まである企業で働いていたのですが、そこで持ち株会に入っていました。
退職時、株券を頂き、そのままにしてありました。
最近結婚したのですが、そのときいろいろな手続きをしていてふと思い立ち、株券の名前も新しい苗字に変えました。

最近いろいろなところで、たんす株を預けろ預けろと聞きます。
今日めずらしく平日に休みが取れたので、近所の証券会社に行こうかと
思ってネットで調べ始めたら、手数料などネット証券の方がかなり安いと知りました。
しかし、わたしは売買の経験もなく、よほど値が上がれば別ですが今度売るつもりもあまりなく（配当が割りといいので）、ただそうしないといけないみたいだから預けたい、というかなり消極的な株式初心者です。

このようなわたしがネット証券でやっていけるでしょうか？
手数料が安いにこしたことはないですが、やはり窓口で質問や相談ができるように、近所の証券会社がいいでしょうか？

また、東京三菱UFJに銀行口座などを持っていますが、だからといって系列である三菱UFJ証券に預けるといいことがあるなどという都合のよいことはないのでしょうか（サイトで見た限りなさそうですが・・・）

もしお勧めの証券会社などありましたらそれも教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。