4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件

解決済

質問者：dfhsds
質問日時：2007/11/15 02:42
回答数：2件

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
｜a↑ b↑ c↑ d↑｜≠０

4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、
a↑∥b↑∥c↑∥d↑

a[1]：a[2]：a[3]：a[4]＝b[1]：b[2]：b[3]：b[4]＝c[1]：c[2]：c[3]：c[4]＝d[1]：d[2]：d[3]：d[4]

(a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])＝(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4])
＝(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])＝(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4])

このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか？

4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか？

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (2件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.2ベストアンサー

回答者： joggingman
回答日時：2007/11/15 12:43

失礼しました。

とすると、
rankA=4　|A|≠0
rankA=3　Aの３次小行列式の中に０でないものがある。
　　　　　かつ、|A|=0

rankA=2　Aの２次小行列式の中に０でないものがある。
　　　　　かつ、３次小行列式がすべて０かつ|A|=0

rankA=1　Aの１次小行列式の中に０でないものがある。
　　　　　かつ、２次小行列式、３次小行列式が０、かつ|A|=０

任意のｒ次小行列式を|Ar|で表しても、
rankA=１のときは、
a1*a2*a3*a4*b1*・・・*d3*d4≠0
かつ
|A2|=|A3|=|A|=0（|A2|は36通り、|A3|は９通り）
|A2|=0の条件だと、４×４の成分をaijと書いて、
Σ[i=1,3]Σ[j=2,4,i<j]Σ[k=1,3]Σ[l=2,4,k<l]|(aik*ajl-ajl*aik)|=0
とでも表記できますが、
１つのイコールではちょっときついんではないでしょうか？

- 0
- 件

通報する

この回答へのお礼

まことにありがとうございます。
行列が一つ与えられたとき、その値が 0 でないような小行列式の最大サイズは行列の階数に一致することを利用すればいいのですね。

rankA=4のとき、
|A|≠0
これは、|A|^2＞0と同値でもありますね。

rankA=3のとき、
Aの３次小行列式の中に０でないものがある、かつ、|A|=0
ここで、０でないものがあるということは、それぞれを２乗したものの和が正と同値でもありますね。

rankA=2のとき、
Aの２次小行列式の中に０でないものがある、かつ、３次小行列式がすべて０、かつ、|A|=0
ここで、３次小行列式がすべて０だったら、余因子展開により自動的に、|A|=0は満たされますね。
ここで、すべて０ということは、それぞれを２乗したものの和が０と同値でもありますね。

rankA=1のとき、
Aの１次小行列式の中に０でないものがある、かつ、２次小行列式、３次小行列式が０、かつ|A|=０
ここで、２次小行列式がすべて０だったら、余因子展開により自動的に、すべての３次小行列式が０、かつ、|A|=0は満たされますね。

ついでに、rankA=0のとき、
Aの１次小行列式がすべて０

本当にありがとうございました。