給与所得者の扶養控除等（異動）申告書は提出しないといけないの？

あまり胸を張って言えるアドバイスではありませんが、

１、申告書は普通に書いて提出する。

２、年調で、還付金がくる。なにもしない

３、確定申告はしない。なにもしない。税務署から問い合わせが「あれば」、これに応じるか何かする。

＞住民税が増えるほどのバイトなら、来年 6月ごろには給与計算担当は、「この人は当社以外に所得があるな」
と感づくことになります

仮に確定申告すれば、このおそれはないともいえないでしょう。あなたの会社の担当者によりますが。。。
給与が似た人でも人それぞれ住民税額はやはり違ってくるので、やたらめったに高ければ、なんでだろう？と思うかもしれません。そうでなければ、ああ高いなあで流されるかもしれません。。。

アルバイト先でも、扶養書を書いて出して！って言われているのなら、2ヶ所とも出しておいて、確定申告したほうが、無難かもしれませんが、そのへんは山勘的に判断せざるを得ませんね
あるいは、アルバイト先には自分で確定申告するので、年末調整はしないでくださいといい、扶養書は出さないでおくことも考えられます

＞他にアルバイトをしています。

昨日アルバイト先から「給与所得者の扶養控除等（異動）申告書」を…

「給与所得者の扶養控除等（異動）申告書」は 1カ所にしか出せません。
バイト先には、本業の会社があると言って、提出しないでください。
その上で、来年の 2/15～3/15 に確定申告をしてください。
http://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/1900.htm

＞会社にアルバイトの事がバレてしまうのでわないか心配です…

住民税が増えるほどのバイトなら、来年 6月ごろには給与計算担当は、
「この人は当社以外に所得があるな」
と感づくことになります。

＞本業の会社はアルバイトが禁止なのですが…

危ない橋は渡らないでおきましょう。
副業が「給与所得」以外の所得なら、副業分にかかる住民税を自分で納める方法もあるのですが、給与所得はすべて勤務先での徴収となります。

税金について詳しくは、国税庁の『タックスアンサー』をどうぞ。
http://www.nta.go.jp/taxanswer/index2.htm