イオンの存在

「希ガス以外で不安定な原子」とは、原子中の電子のうち、一番外側の電子（最外殻電子）の数が８個になっていないものです。

（希ガスは８個で安定しています。）

　最外殻電子の数が少ないものは、それらを放出できれば安定になれます。最外殻電子の数が多いもの（あと１つか２つ電子が来れば８個になるもの）は、電子を得ることができれば安定になれます。
　前者が金属、後者が非金属です。

　金属と非金属が出会うと、それぞれ電子を放出・獲得して、陽イオンと陰イオンになります。このようにして原子同士がくっつくのが「イオン結合」です。

　ところが、金属原子のまわりに適当な非金属原子がないとき、金属原子が安定になるために、最外殻の電子を自由に動き回らせ、残りの陽イオンがずらりと並んでいる構造になります。これが「金属結合」です。陽イオンがあるといえばあるのですが、この状態の金属をイオンとは呼びません。

　一方、非金属原子のまわりに適当な金属原子がないとき、不足している電子を、お互いの原子が出し合って共有状態にして安定になろうとします。このような結合が「共有結合」です。（共有結合でできた原子の集まりが「分子」です）

　まとめると、希ガス以外の原子が安定になるために
○金属原子と非金属原子が結合するときはイオンになる
○金属原子同士が結合するときは金属結合をする
○非金属原子同士が結合するときは、共有結合をする
ということです。

イオンになっているのは、イオン結合の場合だけです。

＞希ガス以外で不安定な原子は安定を求めようとしてイオンになると聞いたのですが、・・・

その認識が誤っています。
安定な希ガスの電子配置になろうする傾向があり、イオンになるというのもそのための手段の１つです。共有結合を形成し、分子になるという選択肢もあります。
ただ、ご質問内容から判断して、それを理解するのは時期尚早ですね。

すべてがイオンというわけではありません。

分子になることで安定になる物質があります。たとえば、空気中に存在する酸素は酸素原子が２個がくっついて、電子を共有することで安定します。