銀行の組戻しの際、相手方の通帳には

＞相手方が通帳記帳する前、誤入金の事実を知る前、

相手が振込事実の知、不知を問わず、相手の銀行保有の口座元帳に記帳されたかが問題となります。待機中とのことなんで、相手口座元帳反映後の組戻しとして書きますが、組戻しは、いったん相手の口座元帳に記載された振込入金を、相手の承諾のもとに減算処理して返金します。

以下に、２つ例を書きます。
あなたの振込がまだ為替発信前にて、10000円誤入金→取消だったら、相手の元帳に為替発信する前なんで、あなたのお金の入金処理を、発信元の銀行で取消して返却するだけなんで、相手通帳には何にもなかったことになります。
（帳簿上は、あなた側の10000円の入金伝票を、出金伝票＝入金取消伝票　10000円を起票して、　10000円　-　10000円　で、ゼロにする処理　この１取引だけで、相手の口座元帳には変化なし。）

しかしながら、今回の場合は、相手口座元帳に反映後の通常の組戻しですから、摘要欄には、振込依頼人欄に記入、入力した内容がそのまま載ります。（字数制限はあったと思う。銀行保有の振込元帳には記録されるが、通帳に載るのは字数が限られる）

帳簿上は、下記の２つの取引が生じることになります。
1.あなたから入金されたお金10000円＝出金伝票を、相手の口座に10000円入金　この時点でプラスマイナス0で、取引完結

2.　1の完結した取引を、あなたの依頼で組み戻し→相手に承諾、印鑑をもらって出金伝票を10000円起票→あなたに10000円返却or10000円の入金伝票にて、あなたの口座に返却
これも、プラスマイナス0で取引完結

銀行において、いったん完結した取引の元帳を変更することはできませんから、相手の通帳記帳を防ぐ術はありません。

なお、個人情報に関しては、それ以上の情報は先方には伝わりません。

以前誤って振り込まれたことがあります。

残高が増えているので、何だろう？と思ってみると、見知らぬ人の名前（カタカナ）が並んでいました。その後銀行より連絡があり、引き出されていきました。

以上は通帳のないネット銀行だったのですが、記帳前としても記録として残ると思います。