ＦＸの確定申告について

＞現在主人の扶養内でアルバイトをしているのですが、ＦＸでもし利益が出るとそれも私の収入として計算しないといけないということでしょうか。

あなた名義でやっているなら、そうです。
ただ、２０万円以上というのは「サラリーマンなど主たる収入が別にある人が、片手間にＦＸをやっている場合」の話です。
他に収入がなければ、基礎控除額３８万円を越えない限り確定申告は不要です。

＞20万以上の利益が出るということも、私のような初心者ではあまりないことなのかもしれませんが、（その前に大きなリスクを伴うものはちゃんと勉強してから始めないといけないのですが）、扶養から出ないようにかつ利益も期待して運用をするなら、確定申告による収入増の心配、という側面からのみ言ったら、投資信託や外貨預金の方がよいのでしょうか。

投資信託は原則として確定申告は不要です。というのも、源泉分離課税といって、預金金利などと同様配当金から勝手に２０％の税金を持っていかれるからです。
しかも、その後投資信託を売却して損が出ても、取られた２０％の税金は返ってこないという理不尽さです。
ＦＸの場合、スワップ収入などで利益が出ても、その後為替差損が出ればその「年間の通算」で２０万円なり３８万円を越えない限り確定申告不要（＝無税）ですので、こちらのほうがはるかにトクです。
外貨預金についても、利子は源泉分離課税で勝手に２０％持っていかれます。それとは別に、為替差益が出れば確定申告が必要となります。

＞そもそも普通の定期預金や投資信託ではその利益について確定申告をしなくていいのに、なぜＦＸは必要なのでしょうか。

法律でそう決まっているからです。ＦＸの収入は、株や投資信託などのような「源泉分離課税」の制度がないためです。
ただし、問答無用で２０％持っていかれる預金や投資信託に比べ、こちらのほうが有利な税制です。

＞株はどちらなのでしょうか。

株は、特定口座源泉ありにすれば源泉分離課税となります（一律１０％）。
特定口座源泉なしまたは一般口座にすれば、通常通り確定申告の対象となります。ただし、収入の名目は雑所得ではなく譲渡所得となります。ＦＸとの通算はできません。

＞運用による利益が出た場合、投資信託や外貨預金ではいくら儲かっても個人では特に確定申告の手続きをしなくていいと思うのですが

えっ？そうなのですか？ここが間違ってます。すべて税金がかかります。外貨預金の為替差益はＦＸと同じ雑所得です。投資信託はタイプにもよりますが、株と同じと思ってよいでしょう。
ただし、株や投資信託は特定口座・源泉徴収ありで取引する限り、確定申告不要になり、投資信託も解約請求で源泉徴収される場合は確定申告不要です。それを言っていると解釈します。
定期預金や国債は受取利息から源泉徴収されて、確定申告は不要です。

扶養家族を続ける場合で、パートの収入もないとした場合、外貨預金の為替差益とＦＸの差益＋スワップの合計が年３８万円以下であれば、確定申告不要で扶養家族でいることができますね。

なぜかって、それは所得の種類が違うからで、所得税法の決まりというほかないです。