微分について

「微分」というものは、無限に小さいものとは一体何かという問いに対する答えのひとつです。

言い換えると、
物を小さく小さく無限に切っていったら、最後に「何」が残るかという問題に対する答えです。
いまから３００年ほど昔、アイザックニュートンは「世界ってなんだろう」という問題に対する答えを探していました。
実空間の中で大砲の弾が描く運動としての曲線。
数学的な空間の中にある関数としての曲線。
彼は、変化（つまり運動）を過程ではなく「状態」と考えました。
それが微分です。
ある瞬間の「状態」は実空間の運動における「速度」として表現でき、数学的な空間においては「接線」として表現できます。
そして彼は、その「状態」が独立した一点によるものではなくそれ一点以外（他者）を内に含んだものだと考えたのです。
すなわちその関係性を「状態」の変化の割合であらわしました。
実空間の速度に対する「加速度」がそれです。

彼は、不連続で離散的な１点に、全体との関係としての状態を詰め込もうとしたのです。
かれは絶対時間と絶対空間を規定しました。
その説明道具が「微分」です。
それは宇宙と原子の関係を規定したのと同じです。
そして一瞬と全体を、時間と空間を相互に関係づける道具として必然的に「積分」と見出しました。

原子の存在を信じた彼は、その基準によって空間と時間を枠に閉じ込め、無限大、無限小という問題を消し去り、ついに「神」をも消滅させてしまいました。

「微分」「積分」という道具は、数学的な空間のみならず、実空間の問題を解くのに広く使われています。
それは、力学、電磁気学など広く応用されています。
彼の規定した世界（宇宙）観は、われわれの認識できる空間と時間の関係を矛盾なく説明しやすいのでアインシュタインの宇宙観が出てきた今でも広く愛されています。

一点から全体を、全体から一点を。

まるで、一瞬に閉じ込められた永遠、永遠に息づく一瞬を語るロマンのようですね。
学問を楽しんでくださいね。

以上は、「物語」として参考にしてください。

＃３で長文を書いたオヤジです。

　＾＾

今日が秋分の日ということで、一つ思い出しました。

昼の長さは、春分の日を０日目として、おおむね、三角関数の sin になります。

昼の長さ　≒　１２時間　＋　定数× sin（春分の日から数えた日数×２π／365.25）

定数は、緯度などによって変わります。

昼の長さを日数で微分すれば、１日当たり、どれだけ昼の長さが変化していくかが分かります。

前日と比べた昼の長さの差
　＝　ｄ昼の長さ／ｄ日
　≒　定数×２π／365.25×cos（春分の日から数えた日数×２π／365.25）

ちょっと複雑になってしまいましたが、
sin の 微分が cos であることだけ認識してください。
cos とは、すなわち、位相がπ／２（＝９０度）ずれたときの sin と同じです。

すなわち、
春分、秋分やその前後では、昼の長さ、日の出、日の入りの時刻が大きく変化し、
夏至、冬至やその前後では、昼の長さ、日の出、日の入りの時刻が、あまり変化しない、
というようなことが、三角関数の微分を知っていることによって、直感的に理解できるということです。

微分は、最初テクニックから入りますよね。

その段階では、その意味は漠然としか分かりません。あなたの感覚は正常だと思いますよ。私もそうでした。
やがて、積分を習い、微分方程式の初歩まで行ったときに、やっと微分の偉大さが分かってきます。しばらくテクニックの習熟に精を出してはいかがでしょうか。

こんにちは。

教科書だけでは微分法の価値はわからないと思われます。
みなさんがお答えしているものを読めば幅広い応用があることがわかると思います。
２年生だと数学２ですね。ぜひ数学３を履修してほしいのですが、そうもいかない場合、友人にみせてもらおうとかしてください。

本屋で専門書　数学コーナーで立ち読みもおすすめします。

接線まで学ぶと次は、接線の傾きに視点をおき増減を考えます。微分法も１階微分法を学んでいます。再度微分すれば２階微分です。これは数学３にあるのではないでしょうか？

また大学へ行けば偏微分法もでてきます。

足し算の反対は引き算です。

掛け算の反対は割り算です。
指数の反対は対数です。
微分の反対は、積分です。

高校までに習う数学の中で、微積分は、役立ち度でＮｏ．１だと言っても過言ではありません。
身の回りにある様々な現象は、微積分で説明できます。

まずは、私の過去回答を。

＜円錐、角錐の体積＞
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2950259.html
＜球の表面積と体積＞
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2004787

他の例も。


＜等加速度直線運動＞
一定の重力を受けて落下している物体の運動は、空気抵抗を考慮すると、
加速度　＝　重力加速度　＋　空気抵抗
と書けます。
空気抵抗を無視できるとすれば、
加速度　＝　一定の加速度
です。
これを時刻ｔで積分すれば、速度になります。
速度　＝　∫一定の加速度・ｄｔ
　＝　一定の加速度∫１・ｄｔ
　＝　一定の加速度・ｔ　＋　Ｃ
ｔ＝０のときの速度は初速なので、
初速　＝　０・ｔ　＋　Ｃ　＝　Ｃ
つまり、
速度　＝　一定の加速度・ｔ　＋　初速
となりました。
さらにもう１回積分すると、位置（距離）になります。
位置　＝　∫（一定の加速度・ｔ　＋　初速）ｄｔ
　＝　一定の加速度∫ｔ・ｄｔ　＋　初速∫１・ｄｔ
　＝　一定の加速度・ｔ^2／２　＋　初速・ｔ　＋　Ｃ
時刻ｔ＝０　における位置をゼロと決めれば、
ゼロ　＝　一定の加速度・０^2／２　＋　初速・０　＋　Ｃ　＝　Ｃ
よって、
位置　＝　一定の加速度×時刻^2÷２　＋　初速×時刻
となります。

逆（微分）は簡単です。
速さ　＝　（一定の加速度×時刻^2÷２　＋　初速×時刻）を時刻で微分
　＝　一定の加速度×時刻　＋　初速
もう１回時刻で微分すれば
加速度　＝　一定の加速度

さて、これは、何に役立つかと言いますと、
・重力を受けて落下する物体の落下時間や、ある時刻における位置の予言。
・クルマがブレーキをかけ始めてから止まるまでの距離が、スピードの２乗に比例する（運転免許の試験に出てきます）ことの理由が分かる。


＜振動＞
バネの片側を固定し、もう一方の端におもりをつけます。
ｘセンチ縮めるための力、ｘセンチ伸ばすための力は、ｘに比例します。
座標（物差し）で考えると、縮めたり伸ばしたりしたときの力は、その逆方向なので、
おもりの加速度　＝　－　比例定数×おもりの位置
という式になります。
上述した等加速度直線運動で述べたとおり、加速度は位置を２度微分したものなので、
ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－　比例定数・ｘ
これを解くと、（過程は省略しますが）
ｘは、時刻ｔの三角関数（本当は複素指数関数ですけど）の形になります。
ｘ　＝　定数・sin（ωｔ＋Ｃ）

これは何の役に立つかと言いますと、
・バネの振動の周期の予言。
・振り子の糸の長さから周期を予言。
・波（光、電波など）の挙動を表せる。


＜過渡現象、減衰など＞
こちらも、私の過去回答です。何回か回答していますが、Ｎｏ．４をご覧になってください。
（前半部分は、上述の等加速度直線運動とダブりますが）
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3186635.html
このように、解が　ｅ^(－ｘ／定数)　の形になる現象は、電気回路以外にもたくさんあります。
たとえば、
・半透明の物体を光が透過するときの減衰のしかた
・放射性物質の量と放射能の関係
・洗濯物の乾き方


＜電磁気学＞
マクスウェルの４つの方程式
http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k4housok …
∇（ナブラ）は、微分を表す記号だと思ってください。
量子力学的なことを除けば、この世の電気、磁気、電磁波（光、電波など）は、
すべて、この４つの方程式だけで表すことができます。


まだまだ沢山ありますが、この辺で。　＾＾

微分法を作り上げたのはニュートンです。

そもそも，動いている物体の位置（刻一刻と変っていく）与えられると，その位置座標を時間で微分することで，物体の速度がわかります。
その速度をさらに時間で微分することにより加速度がわかります。

加速度は物理でならうように物体に働く力と大きな関係があります。
ここからニュートンは加速度と力の関係をしらべそれにより，物体の運動を微分法を用いて説明できるようになりました。

微分法の面白いところに，
たとえば円の面積πR^2を半径Rで微分すると
2πRとなって円の周囲の長さになります。

同じように球の体積を半径で微分すると球の表面積になります。

このように微分法は接線を求める以外に，いろいろな分野で起こっている現象を定量的に表現するのに使われています。

高校生ですと，やはり物理と関係が深いですね。
上記の物体の運動や，電気回路などが応用分野です。

時間的に変化するものの、ある時点での瞬間的な変化量を求めます。

例えば中学で出てくる速さの問題などは、速さは（途中で何度か変わることはあっても）一定速度で動いてます。
ただ、現実問題として車は加速も減速もします。そのブレーキをかけている時の進む距離を時間の関数で表すことができれば、減速中のある時刻での瞬間の速さなどを求めることができます。
なぜそれで求められるのかは説明しにくいです。微分の定義の式をもう一度見返してみてください。