信州の諏訪氏の姓は「神」？

ご質問に直接お答えする知識を持ち合わせてはおりませんが、私の手持ちの史料で、以下ご参考まで‥

■神家の由来
諏訪家の出自も嫡流も定かではなく、系譜も混乱し、異伝も多数あるようです。
「神」家を名乗る由来としては、
http://www.harimaya.com/o_kamon1/syake/middle/s_ …
では「大和の大神神社の社家大三輪家と同系だろうか」とされていますが、私は諏訪家(上社家)の
系譜の中に、諏訪を名乗る以前に「神人部(直・宿禰)」を冠するものがあることから、この神人部
を省略して「神」家と称したのではないかと、勝手に考えています。

■高島藩主家の名乗り
署名は見ていないのですが、どうやら「源氏」を称していたようですね。
これも解釈に苦しむところで、
・諏訪家の嫡流を自認する一派の中に、もともと源氏を称するものがいた
・諏訪が武田家に併合された際に、諏訪一族の多くが源氏に改姓した
・徳川政権下で、諏訪一族の多くが源氏に改姓した
というあたりではないかと、私は勝手に考えています。

同時代の史料としては、高野山の高島藩主家の歴代の供養塔の墓碑銘には、
生国信州諏訪城主前諏訪安藝太守源頼忠公
生国信州諏訪郡城主前諏訪因幡守源頼水公
のようにあります。
なお、明治11年に刊行された華族類別録にも
http://wolfpac.press.ne.jp/classification01.html
第16類 皇別　源朝臣　清和天皇皇子常陸大守貞純親王子鎮守府将軍経基支裔 従五位　諏訪忠礼
とあり、源氏として分類されています。忠礼は最後の藩主忠誠の子です。

専門家としていつも的確な回答をされている回答者様に、私みたいな一般人が回答を、しかも直接でない回答をするのも気が引けてしまうのですが、私も以前から諏訪氏の系譜に興味を持っていたので、想像（妄想？）を書かせていただきます。

つっこみどころ満載と思いますがご容赦下さい。

＃３さんの説は初耳ですが、意外と真相に近いのかもしれません。
というのも国史大辞典によれば、
「上社は神氏、下社は金刺氏であるとされるが、上社系も金刺氏であった可能性が強い。（中略）鎌倉時代、諏訪社の祭祀や造営は公の義務として信濃国に所領を持つ武士に賦課され、そのため祭祀に奉仕する武士たちにおのずから諏訪神の氏人としての同族意識が生じ神を名乗る武士が多くなり諏訪氏はその盟主となった。」（諏訪氏の項）
「中世以降は源満快流の源氏が諏訪氏を襲い全郡を統治した。」（諏訪郡の項）
とあります。また、
「古代において（中略）諏訪氏（神氏）の名は見えない。（中略）神氏の史料上における初見は鎌倉時代の後半になってからなのである。（後略）」
http://www2.harimaya.com/sengoku/html/suwa_k.html

寛政譜で諏訪氏は清和源氏満快流を称しているのですが、寛政譜に載る満快流の氏族のほとんどは伊那郡を中心とした信濃国内の地名（知久、諏訪部、飯田、松本、夏目、依田等）を名字としています。

以上から「満快流」という一族が確からしい存在であるならば、諏訪氏は寛政譜の通り清和源氏であった可能性が高いのではないかと私は思います。つまり＃２さんの「諏訪家の嫡流を自認する一派の中に、もともと源氏を称するものがいた」と近く、土着した満快流の一族が諏訪大社の実権を握るようになり、上記のような経緯で祭神の子孫たる神氏を名乗ったと。
または上記引用のとおり神氏が実際存在し、それを継承したのかもしれません。この過程は熱田大宮司が尾張氏から藤原氏（千秋氏）になったのと似ているのかもしれません。
諏訪大社の祭祀権を主張する必要から神氏を名乗っていたものの、江戸時代に入りその必要もなくなり？、もとの源氏を称したのでしょうか。

最後にご質問の1,2に関連して。諏訪氏に関してはわかりませんが、上記引用先の笠原氏や、諏訪氏と同族とされる上原氏で神を称したり仮名に使ったりしているようです。また諏訪一族という駿河安部氏（岡部藩主家）は寛政譜では満快流ですが華族類別録では滋野氏で訳がわからなくなってます。（滋野氏も神党ですが）
以上長々と失礼しました。

Wikipediaによれば、武将としては源氏、神官職（大祝）としては「神氏」だそうです。

祖を建御名方神（タケノミナカタヌシ）に持つと称していたとか。

江戸時代の高島藩当主は清和源氏を称していました。

（寛政重修諸家譜では清和源氏のところに載っています。）