健康保険の資格喪失について

＞１

いいえ、国民健康保険の資格取得日は１０月１日となります。
健康保険の資格喪失は１０月１日だから９月３０日まで有効です。

＞（現在、通院している場合は、月初めに保険証の提示を求められるので、10月1日の通院の際は、健康保険の保険証を見せたほうがいいのでしょうか？）

それはいけません、健康保険の保険証は上記のように９月３０日までしか有効ではありません。
１０月１日はあくまでも国民健康保険のほうです。
保険証がなければそのことを病院に申し出て一時的に全額払って後で払い戻しするしかありません。
病院が請求をあげる前であれば病院でも払い戻しできるかもしれませんが、後であれば役所に行くことになります。

＞２

国民健康保険の資格喪失日は１１月１日で、１０月３０日まで有効。
健康保険の資格取得日は１１月１日ですから二重に加入はしていません。

＞３

健康保険の場合は資格取得日や資格喪失日はいわば自己申告です。
国民健康保険の場合は退職や扶養を外れたあるいは入社や扶養になった証明が要ります、またその証明の日付が資格取得日や資格喪失日になります。

＞４

そういうことになります。

1.9/30に退職すると、その健康保険が使えるのは9/30までですね

　9/30は夜の12：00までですから、使えなくなるのは翌日の10/1からです、この10/1が資格が喪失した日になります、AM0：00からですね
　10/1は保険に入っていない状態ですから、国保に手続を指定日までにすると10/1から有効になります、10/1が資格取得日になります
　（10/1に通院する場合は、まだ国保の保険証がありませんから、これから申請する旨を伝え、一旦請求額を全額支払い領収書を貰います、後日病院によっては国保の保険証と領収書を持っていけば保険分を返してもらえます、又は市役所で申請書を提出すれば後日還付されます）
2.11/1に就職したら、新しい健康保険は11/1より有効です、11/1以降は新しい健康保険証を使って下さい
4.それで間違いないと思います

2.3.国保の喪失日については、詳しくはないので回答保留
　詳しい方の回答をお待ち下さい