派遣の有休・失業保険について

まず、4月13日（金）の研修に関して半日でも給料が出ていれば仕事といえますが、採用が何時か？という事です。

土日がお休みであれば採用が4月16日（月）からということになります。私も元派遣社員として勤務していました。派遣会社のなかには有給制度というものすら話していない会社もあるようです。派遣会社は自分の都合のいいような判断基準を持っているので、労働基準監督署に聞いてみるといいです。正式な採用日を確定してみてください。
失業保険に関しては、半年間雇用されていて会社都合の退社なので支給対象だと思います。また雇用保険に加入させていない会社もあるのでその場合半年間さかのぼって、保険料を払い込めばいいと言う話しを聞いた事があります。いずれにしても、関係官庁に確認してみて考えをまとめた上で、派遣元に確認してみてください。派遣元会社は出来れば有給を取らせたくないと考える会社もあるようですから。私も苦労しましたから・・・。

＜10/16以降は、派遣元を退社せずに新しい仕事も決まらない状態の場合です。

そのような状態では有休を使う事はできないのでしょうか？

既に回答済みですが、年次有給休暇を使うことができます。

先ず、労働基準法を見てみましょう。

第３９条（年次有給休暇）
１　使用者は、その『雇入れの日』から起算して６箇月間継続勤務し全労働日の８割以上出勤した労働者に対して、継続し、又は分割した１０労働日の有給休暇を与えなければならない。（『　』は回答者が挿入）
２　以下省略
とありますから、
4/13の派遣元の研修が半日あった日に採用されているのならz_2000さんが疑念に思っている通り、10/13の時点で有休（を取得する権利）が発生します。

＞10/15で派遣先の都合で退社する事になりました
＞また、有休を使うにはどこかの派遣先で就業していなくてはならないのでしょうか？（10/16以降、仕事をせずに有休を使う事は可能でしょうか？）
ここが曖昧ですが、10/15以降派派遣元を退社するのでしょうか？
派遣元を退社するのならば年次有給休暇を取得する権利は消滅してしまいますし、派遣元は退社しないのならば退社するまでは年次有給休暇を取得できます。
失業保険（正確には雇用保険）についても当然派遣元を退社していることが前提となります。

有給ですが１６日にならないと、発生しません。

これは働き始めて
６ヶ月経たないと発生しないものなので、派遣会社の冊子などを見れば解決する問題です。
NO1さんの言うとおり、１０月以降の離職だと１２ヶ月以上勤務していないと対象にならないですよ。それ以前も働いていたのであればいいのですが２年間の就業がこの半年だけだと支給の対象外です。
もらいたいとしたら、他の就業先であと半年以上働くことになりますね。

失業保険に関して、現在は６ヶ月間の雇用期間が必要ですが、１０月１日より１２ヶ月に変わるようです。

参考URL：http://www.job-net.jp/about_koyohoken.html