クレジットカード申請について

消極的な手段ですが……単にクレジット決済の方法が欲しいだけであるなら、スルガVISAデビットカードかイーバンクマネーカードを取得するのがよろしいでしょう。

VISAで決済可能なほとんどのところで使用出来るはずです。
どちらも、VISAデビットと言うカテゴリに属するのですが、このVISAデビットというのは、VISAの決済システムを通して、銀行口座から即時引き落としする決済方法です。
クレジットと違って月末に一括して引き落としという方法ではありませんし、一括以外の決済も出来ませんが、信用審査がありませんので、誰にでも（15才以上なら高校生であろうとも）発行されます。
ブラックになった人以外にも、借金嫌いの人にも使われているようです。
海外旅行の際も使用出来ます。

スルガVISAデビット
http://www.surugabank.co.jp/my/debit/

イーバンクマネーカード
http://www.ebank.co.jp/kojin/debit/index.html

質問そのものへの回答ではありませんが、もしご存じでないなら、頭の隅にでも置いておくと、いざというときお役に立つかと。

同居家族が原因とは言い切れないように思いますよ。

最近、クレジットの入会を断られている方はかなりおり、
以前のような簡単な審査ではなくなっているようです。

また同じ会社だと、以前審査に落ちているとしばらくは再審査もダメなみたいです。

> ブラックリストに記載された同居家族がいる為、審査に落ちました。

　ブラックリストに記載された同居家族がいるというで審査に落ちたとは考えにくいです。
　なぜならカード会社が信用情報機関を利用するためには、あらかじめ利用者の同意が必要です。同居家族の方がブラックとなったとしても、仮にその時点で質問者様がどこのカード会社とも契約していなければ、リストに情報が載ることはありません。
　たとえ同居家族の方がブラックとなった時点で質問者様が同意していたとしても、リストに載るのは客観的取引事実に基づく事項のみで、同居家族の信用低下が質問者様の客観的取引事実には当らないと思います。