差し押さえはミス？？

ご質問のようなことが起きる原因として考えられるのは、

１．会社に就職する前には国民健康保険に加入していた。
２．新たに会社に就職し、そのときと前後して転居した。（市町村の異なる転居）
　　あるいは、従来の国民健康保険証の有効期限が切れた。
３．しかしながら役所にて国民健康保険脱退の手続きをしていなかった。

という流れです。
まず、会社に就職して社会保険の健康保険に加入した場合には、必ず国民健康保険の脱退手続きをしなければなりません。そうしないと国民健康保険は何時までも加入したままになっています。
また国民健康保険証が送付されたということは、転居したか有効期限が切れたのかどちらかです。（加入者に変動がある場合もそうなったりしますけど）

ちなみに転居しても国民健康保険は転出届にあるデータからそのまま次の転入先の役所で自動的に加入となります。

つまり国民健康保険は社会保険の健康保険に加入したら「自ら脱退手続き」をしない限りは加入したままになります。役所では基本的には社会保険の健康保険に加入したかどうかはわかりません。

ただですね。差押が来る前には保険料の納付通知も来ている筈だし、督促もされているはずですよ。それを放置していたからこそ差押になったのです。
役所に電話して確認すればよかったのに。

ちなみに国民健康保険料（税）は公租公課であり、滞納者に対する徴収は地方税法および国税徴収と同じ方法を使いますので、「裁判所は通しません」。
滞納者に対しては、役所は独自にその人物の資産を調査する権限が与えられており、また、独自に差押を実行できます。

質問者さんは、社保適用者で実際社保の保険証を使っているのにもかかわらず、国保の保険証が届いた、というのは、たぶんどこかでミスがあり、社保にも加入していて、国保にも加入している、という二重加入状態になっていた、という可能性があります。

市町村としては、国保に加入しているのに保険税が納付されていない、仕方がないので差押をしなきゃ、ということだと思います。
差押えについては、国民健康保険税などの税金の滞納について、自治体は裁判所を通さずに直接差押えができるように法律上なっています。ですから、裁判所通ってなくてもありえる話です。
ミスかどうかを確認するためには、会社および保険証を送付してきた市町村にそれぞれ直接確認してみるのがいいと思います。

会社が天引きした社会保険料が、いくべきところにいかずに会社が使い込んだ可能性があります。

しかも勝手に国保に変更しているかもしれません。
国民健康保険に変更になっているとすると、国保の保険料（税）は本人の全額負担となるので本人負担が増える可能性があります。

>何の手続もしてないのに国民保険証が送られたり、

保険者は市町村の名前になっていますか？
もしなっていれば会社に相談しても適当に言いくるめられるかもしれませんから、まずは市町村の国保の窓口で本当に国保に加入しているのかどうか、しているのであればいつからか確かめてみてください。その上でそこの担当者にいきさつを話してみてはどうでしょうか。

※国保といっても市町村でなく職業団体などが運営する国保もあり、この場合は実質的には社会保険と同じと考えていいです。もしかするとこういった国保に変更されたのかもしれませんが、そうなると役所から差し押さえがくるということはありえないと思います。