電流をも求める式で教えてください

三たびお邪魔します。

ご質問のタイトルが「電流を求める式で」でしたね。

私が挙げた例で言えば、

Ｖ／Ｖ１　＝　１－ｅ^(-t/RC)
でしたから、
Ｖ　＝　Ｖ１・｛１－ｅ^(-t/RC)｝
ｄＶ／ｄｔ　＝　Ｖ１／ＲＣ・ｅ^(-t/RC)

よって、抵抗Ｒを流れる電流は、時刻ｔの関数として、
Ｉ（ｔ）　＝　ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ
　＝　Ｖ１／Ｒ・ｅ^(-t/RC)

この式の意味するところは、

電源Ｖ１のスイッチを入れた瞬間（ｔ＝０）においては、
電流一定のときのオームの法則と同じく、
Ｉ（０）＝Ｖ１／Ｒ
という電流が流れますが、
充電が進み、コンデンサＣの一端の電圧（＝Ｖ）がＶ１に近づくにつれて、
電流Ｉがだんだん小さくなり、
ｔ→∞　で電流Ｉはゼロに近づきます。

再びお邪魔します。

すみません。
最後の辺りに誤記がありましたので、以下のように訂正します。


Ｖ／Ｖ１　＝　１－ｅ^(-t/RC)

この式が意味することは、
電源Ｖ１をオンした後、Ｖは０ＶからＶ１にだんだん近づいてく、
すなわち、
ｔ＝０　　のとき、ＶはＶ１の電圧の０％
ｔ＝ＲＣ　のとき、ＶはＶ１の電圧の（１－１／2.78）×１００％
ｔ＝２ＲＣのとき、ＶはＶ１の電圧の（１－１／2.78^2）×１００％
ｔ＝３ＲＣのとき、ＶはＶ１の電圧の（１－１／2.78^3）×１００％
・・・・・
ｔ→∞　で、Ｖ／Ｖ１＝１　（満充電）　に近づく。

ｄは微小な値です。

ｄＱは微小なＱ、ｄｔは微小なｔです。
（０ではありません）

Ｑをｔで１回微分したものが　ｄＱ／ｄｔ　です。
微小時間ｄｔの間にＱがどれだけ変化するか、ということを表しています。

こちらの例が分かりやすいでしょうか。
物体を等加速度の直線運動（自由落下がその一例）させるとき、
ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　＝　ａ　　（ａは加速度、定数）

これをｔで１回積分すると、速さの式になります。
ｖ（ｔ）　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ａｔ　＋　Ｃ１
（Ｃ１は積分定数）
初速ｖ（０）（時刻ｔ＝０における速さ）をｖ0と置く、という初期条件を与えると、
Ｃ１　＝　ｖ0　なので、
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ａｔ　＋　ｖ0

さらにｔで１回積分すると、位置（距離）の式になります。
ｘ　＝　ａ・ｔ^2／２　＋　ｖ0・ｔ　＋　Ｃ２
（Ｃ２は積分定数）

出発地点の座標（時刻ｔ＝０における場所）をｘ＝０と決める、という初期条件を与えると、
Ｃ２　＝　０　なので、
ｘ　＝　ａ・ｔ^2／２　＋　ｖ0・ｔ
たぶん、ご覧になったことのある式だと思います。

最後の式を、逆にｔで微分していけば、
ｘ　＝　ａ・ｔ^2／２　＋　ｖ0・ｔ
ｖ　＝　ｘ’＝　ａｔ　＋　ｖ0
ｖ’＝　ａ



では、話を電気の方に戻しまして、

Ｖ-----／＼／＼／＼-------ＧＮＤ
　　　　　　　　Ｒ

という回路を考えます。
Ｖに流れる電荷（Ｒ、ＧＮＤに流れる電荷も同じ）をＱと置くと、
オームの法則により、
Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｖ／Ｒ
Ｑ（ｔ）　＝　Ｖ／Ｒ・ｔ　＋　Const.
時刻ｔ＝０　のときに、積算電荷Ｑ＝０として、そこからＱをカウントし始めることにすれば、
Ｑ（０）　＝　Const.　＝　０
Ｑ（ｔ）　＝　Ｖ／Ｒ・ｔ
よって、
Ｑ／ｔ　＝　Ｖ／Ｒ
つまり、抵抗だけの回路の場合には、
Ｖ／Ｒ　＝　ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｑ／ｔ
となり、ｄＱ／ｄｔでもＱ／ｔでも同じになります。
（一次関数のグラフの傾きが、区間をどのように取っても同じである、ということと同じです。）



今度は、こちらを考えてみましょう。
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｑ／ｔ　とはならない、代表的な例です。

Ｖ１-----／＼／＼／＼------(V)-------｜｜-------ＧＮＤ
　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ

Ｖ、Ｒに流れ、Ｃの一端（電圧＝Ｖ）に溜まっていく電荷をＱと置くと、

オームの法則の式により、
Ｖ１－Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ
コンデンサの式により、
Ｑ　＝　Ｃ・Ｖ
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ

よって、
Ｖ１－Ｖ　＝　ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ

ｖ　＝　Ｖ１－Ｖ　と置けば、
ｄｖ／ｄｔ　＝　０　－　ｄＶ／ｄｔ　＝　－ｄＶ／ｄｔ
なので、

ｖ　＝　－ＲＣ・ｄｖ／ｄｔ

－ｄｔ　＝　ＲＣ・ｄｖ／ｖ
－∫ｄｔ　＝　ＲＣ∫ｄｖ／ｖ
－∫１・ｄｔ　＝　ＲＣ∫１／ｖ・ｄｖ

－ｔ　＝　ＲＣ・lnｖ　＋　定数
　＝　ＲＣ・ln（Ｖ１－Ｖ）　＋　定数

－ｔ／ＲＣ　＋　定数その２　＝　ln（Ｖ１－Ｖ）
定数その３　×　ｅ^(-t/RC)　＝　Ｖ１－Ｖ

時刻ｔ＝０において、Ｖ＝０（Ｃが全く充電されていない）という
初期条件を与えると、
定数その３　×　ｅ^(－０/RC)　＝　Ｖ１－０
なので、
定数その３　＝　Ｖ１

よって、
Ｖ１－Ｖ　＝　Ｖ１・ｅ^(-t/RC)
Ｖ／Ｖ１　＝　１－ｅ^(-t/RC)

この式が意味することは、
電源Ｖ１をオンした後、Ｖは０ＶからＶ１にだんだん近づいてく、
すなわち、
ｔ＝０　　のとき、ＶはＶ１の電圧の０％
ｔ＝ＲＣ　のとき、ＶはＶ１の電圧の（１－２．７８）×１００％
ｔ＝２ＲＣのとき、ＶはＶ１の電圧の（１－２．７８^2）×１００％
ｔ→∞　で、Ｖ／Ｖ１＝１　（満充電）　に近づく。

言い換えれば、信号Ｖ１がＶへ伝わるときの遅延時間を表します。

遅延の大小は、抵抗と容量の積ＲＣで決まるので、ＲＣ（＝τ）のことを
時定数と呼びます。
（τは、ギリシャ文字で「タウ」と読みます。）

これは微分です。

Ｉ＝ΔＱ／Δｔ＝(Q2-Q1)/(t2-t1)
電荷の変化率が電流です。Δを極限まで小さくして０にしたときｄになり微分になります。

>　I=Q/tではだめな理由はなんでしょうか？
これは平均電流ですね。途中での電流変化を考えていません。

IやQが常に一定値であればI=Q/tでもいいのですが、刻一刻変化している場合は、その瞬間だけを捉えた方が現象を正確に表すことになります。

ｄは極めて小さいという意味を持っています。

d は微分です。

「電荷量の変化を時間で微分したものが電流値である」という意味になります。
電荷が時間に対して一定の量づつ減っていく場合は　Ｑ／ｔ　と同じ意味になりますが、一定量づつ減らない場合は割り算ではダメです。