絶対値という概念の効用について

三平方の定理がそうです。

二次元では、原点から点（ｘ，ｙ）までの距離ｒは
ｒ　＝　±√（ｘ^2　＋　ｙ^2）
ではなく
ｒ　＝　｜±√（ｘ^2　＋　ｙ^2）｜　＝　√（ｘ^2　＋　ｙ^2）

同様に、三次元では、原点から点（ｘ，ｙ，ｚ）までの距離ｒは
ｒ　＝　√（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）


＃２さんが回答されている複素数のことも重要です。
複素数ｚが　ｚ　＝　ｘ　＋　ｉｙ　で示されるとき、
ｚ　の絶対値は、｜ｚ｜　＝　√（ｘ^2＋ｙ^2）
これは結局、上述した三平方の定理と同じで、
ｘ方向をＸ軸、ｙ方向をＹ軸としたときの、Ｘ－Ｙ座標系（複素平面）での原点からの距離ｒになります。
（ｘ，ｙ）は極座標（ｒ，θ）に変換できます。


では、８の立方根（３乗根）の例を挙げます。
意味不明に見えるでしょうが、とりあえず、以下、眺めてみてください。

８　＝　８　＋　０・ｉ

絶対値ｒは、ｒ　＝　√（８^2＋０^2）　＝　８
また、（説明は省きますが）ｉの係数がゼロで、しかもｘが正の数（＝８）なので、偏角θは
θ　＝　０＋３６０ｎ　＝　３６０ｎ

絶対値ｒ＝８の３乗根は、８^(1/3)　＝　２
だから、求める３乗根の絶対値は２

偏角については、３乗根を求めるということは、θを３等分するということ。
θ／３　＝　１２０ｎ
０≦θ＜３６０の範囲の解は、
０、１２０、２４０
つまり、８の３乗根は、極座標では
（ｒ，θ）＝（２，０）または（２，１２０）または（２，２４０）
と求まりました。
実際に図を描いてみると分かりますが、この３つの解は、
（ｘ，ｙ）＝（２，０）または（－１，√３）または（－１，－√３）
という、正三角形の３つの頂点であり、また、半径２の円周上の３点でもあります。


絶対値を学校で初めて習ったばかりの中学生に、こんな話をしたことがあります。

私「１本の白い糸をぴんと張って、そのどこかにコンパスの針を立てて、コンパスをぐるっとまわすと、その糸に描く場所は何箇所？」
中学生「２箇所」
私「そう。だから、同じ絶対値の数は２つあるんだ！」
中学生（きょとん）
私「じゃあ今度は、糸じゃなくて白い紙にしてみよう。今度は何箇所？」
中学生「ん・・・・・沢山。」
私「沢山、というか、無限にあるよね？」
中学生「うん。」
私「実は、今、絶対値っていうのを習っている理由はそれなんだ。高校や大学の数学になると、白い紙のほうの絶対値が出てきて、それが色んなことに役立つんだ。」
中学生「へー」
さらにその後も私の講釈は続き・・・（笑）

他の回答者様も挙げられているように、実数や複素数における絶対値というのは、二点間の距離を測るという意味で非常に重要なものです。

実はこのことはユークリッド空間(直線Rや平面R^2や空間R^3をより一般化したn次元の空間)における絶対値にまで拡張されます。

さらに関数解析と呼ばれる分野の問題ですが、ベクトル空間にノルムと呼ばれる、ベクトルから非負の実数を対応させる写像を考えることがあります。このノルムの性質は、ユークリッド空間における絶対値の概念を抽象化したものであって、三角不等式、スカラー倍、非負性が成り立つ写像として特徴付けられます。ほとんどありとあらゆる局面で使われているといっても過言ではない関数解析ですが、極論すればこれはノルム空間の理論なので、ノルムが無ければまったくお話にならないわけです。またノルムがあれば、それを元に距離を測るということができます。もちろん二点間の距離などならば、直感的な理解もできるでしょうが、たとえば、ある図形たちからなるような集合の集まりを考えて、そこに適当なノルムを入れて、ふたつの集合がどれぐらい似ているか？などを考えることも出来ます。この手の話は、たとえば、ファイナンスへの応用などでも出てきます。

ちなみに普通、中学や高等学校で出てくる絶対値というのは、ユークリッド距離と整合するノルムであって、絶対値と同様の性質を持つような別のノルムを考えることも出来ます。このときは計量と呼ばれるものが変化して、たとえばx軸とy軸が直交しない、などということが起きたりします。要は、絶対値を考えることによって、初めて二点間の長さ、あるいは二直線のなす角などを考察することが出来るというわけで、そもそも(中学や高等学校では、初めから長さとか角度は定義されていると思っているけれども)抽象数学ではノルム(絶対値)があって、初めて計量(物を計ったりできる、つまり長さや角が定義)できる、というように理解するのです。

「理論体系」というほどではありませんが、複素数（特に虚数）を絶対値と偏角に分けて表現すると、実部と虚部で表現した場合よりも、色々おもしろい幾何的な性質が見えてきます。

簡単なところでは、絶対値とは「2点間の距離」の概念なので、これがないと実数体などが構築できません。