積分

＞x＝√{6/(3a^2+2)}　のとき　

＞　　　cosθ＝√{2/(3a^2+2)}
＞　　　ｓinθ＝±{1-(cosθ)^2}＝±(√3)a/(3a^2+2)
＞　　　　＝(√3)a/(3a^2+2)　　（∵0≦θ≦π/2）
＞について教えてください
＞cos,sinがどうやって求められたのか分かりません

　ごめんなさい。
　sinθの式に誤記がありました。正しくは、次のようになります。（分母に√記号を付け忘れました。)
　混乱させてしまって申し訳ない。

(正)　　　ｓinθ＝±{1-(cosθ)^2}＝±(√3)a/√(3a^2+2)
(正)　　　　　　＝(√3)a/√(3a^2+2)　　（∵0≦θ≦π/2）

　なお、念のため、導出過程をきちんと書いておきます。

　積分の変数変換で、ｘ＝√3cosθとおいたと思いますが、cosθの値は、これを使って求めます。
　　x＝√{6/(3a^2+2)}
　⇔√3cosθ＝√{6/(3a^2+2)}
　∴cosθ＝√{2/(3a^2+2)}　　・・・・（A) 　←両辺を√3で割ってます。

　また、sinθは、公式: (sinθ)^2 +(cosθ)^2＝1　を使って求めます。
　　(sinθ)^2 +(cosθ)^2＝1
　⇔(sinθ)^2 ＝1－(cosθ)^2
　⇔sinθ ＝±√{ 1－(cosθ)^2 }　　・・・・（B)

　ここで、cosθの値は、式（A)で求められているので、この値を式（B)に代入します。
　　sinθ ＝±√{ 1－(cosθ)^2 }
　　　　　＝±√[ 1－(√{2/(3a^2+2)})^2 ]
　　　　　＝±√[ 1－{2/(3a^2+2)} ]
　　　　　＝±√[ {(3a^2+2)－2}/(3a^2+2) ]　　←ルートの中身を(3a^2+2)で通分。
　　　　　＝±√[ (3a^2)/(3a^2+2) ]
　　　　　＝±a√[ 3/(3a^2+2) ]
　　　　　＝±(√3)a/√(3a^2+2)

　ここで、θの範囲を　0≦θ≦π/2　と限定する（変数変換のところで制限してありますが)と、sinθ ≧０ なので、複号（±）が外れてプラスだけになり、sinθが次のように確定します。
　∴sinθ＝(√3)a/√(3a^2+2)　　・・・・・・（C)


＞積分の範囲はθ=α→0と表されるのでしょうか？

　式（A)と（C)を満たすθをαとおけば、積分範囲は、θ=α→0　になります。
　この範囲は、元々ｘでの積分範囲：ｘ=√{6/(3a^2+2)} → √3　に対応しています。
　（ｘ＝√{6/(3a^2+2)} のとき、θ＝α、
　　ｘ＝√3のとき、θ＝０　）


　なお、人のことは言えないませんが、
＞　（扇形PP'A　の面積）求め方が分かりません。
　これは、「（扇形QQ'A　の面積）」の誤りですよね。
　念のため、他の回答者のことを考えて、記しておきます。