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問 周囲の長さ12cmの扇形の面積が最大になるときの半径を求めよ。

っていうのですが、一番簡単にとく方法はどのようなやり方なんでしょうか?

ぜひ教えてください。

A 回答 (4件)

普通に式立てればいいんじゃないでしょうか?


扇形なので、決め手は半径と中心角ですよね?
半径r, 中心角Θとすると
2r+rΘ=12,r>0, 0<=Θ<2πという条件のもとで、(1/2)r^2Θを最大にすればよいんですよね?
求めるのが半径なので、等式条件からΘ=の式を作り、面積の式をrで表して微分、というのが自然の流れなのではないでしょうか。
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一番簡単かどうかわかりませんが、


2次関数の性質をもちいる方法もあります。

半径r、角Θの扇形の周囲長L、面積Sは次式より求まります
L = 2r + Θ * r ---(1),
S = Θ* r^2 / 2 ---(2).

(1)よりΘを求めると
Θ = L/r - 2 ---(3).

(3)を(2)のΘに代入すれば、

S = (L/r - 2)*r^2/ 2 = L*r/2 - R^2 = (L/4)^2 - (r - L/4)^2 ---(4)

(4)が最大になるのは (r - L/2)^2 の項が0のときですから、
r - L/4 =0のとき S は最大値 (L/4)^2 となります。

条件L=12より、r=3とき、面積は最大値 9 となります。
このとき角は(3)より、Θ=2 です。
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周の長さL(=12cm)で一定の場合として,一般に示すと,


扇形の半径r,弧の長さl=rθ として
面積S=(1/2)r^2・θ
各変数は正より,相加・相乗平均の関係から
L=2r+l=2r+rθ≧2√(2r・rθ)=2√(2r^2θ)=2√(2・2S)=4√S
ただし,等号成立は2r=rθ ⇔ θ=2(rad) のとき.
すると,面積S≦(L/4)^2 となり,最大値(L/4)^2でr=L/4, θ=2(rad) のとき.
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半径r、広角Θの扇形は


面積=r^2 * Θ / 2
周囲=2(2 + Θ) * r
なので(面積)/(周囲)は、r * Θ / [2 * (2 + Θ)]
となります。(面積)/(周囲)が半径に比例することを考えると、面積・周囲比は
Θ / (2 + Θ)
となります。これが0~2πの間で一番大きくなるのはグラフを書けば2πとなることは自明です。
ちなみに半径2πってことは円なのでさらに面積・周囲比が大きくなること請け合いです。

勘違いしてたら御免なさい。
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