派遣会社が年末調整をしてくれない場合

＞扶養控除申告書の用紙、渡されてないのですが、こちらから請求すれば

もらえるのでしょうか。
＞また、今からの提出でも間に合うでしょうか？

そもそも扶養控除等申告書は、年初（または入社時）に提出すべきもので、その提出がある場合には、毎月の源泉徴収について、税額表の甲欄により源泉徴収すべき事となりますので、月額87,000円未満であれば、源泉徴収税額は０円となりますし、年末まで在職していれば、年末調整すべき事となります。
この提出がなければ、税額表の乙欄により源泉徴収すべき事となりますので、例え少額であったとしても最低でも６％の源泉徴収をされるべき事となります。

ご質問者様の場合は、どちらの額で源泉徴収されていたのでしょうか？

もしも前者であれば、事後的に扶養控除等申告書を提出させる会社がありますし、そもそも提出がなければ適用できないものですから、今からでも言えば提出できるものと思います。

ただ、扶養控除等申告書は同時には二箇所には提出できませんので、かけもちの場合はいずれか一箇所という事になり、それらを考えて、「多くのケースが考えられるため」と言っているのかも知れませんが、そもそもは最初に扶養控除等申告書を提出してもらうかどうかの時点でチェックする事ですから、会社としては正しい処理ではない事となります。
（おそらく扶養控除等申告書を提出してもらっていないのに、甲欄で源泉徴収しているのでは、という気がします。）

確かに、年末調整は会社の義務ではあります。

が、（本当はいけないことですが）やらないところもあると思いますし、やっても不備がある（生命保険料控除などの処理をしない）があります。
また、たいしたペナルティも無いのが実情みたいです。

とりあえず、確定申告さえすればきっちりと処理が出来ますので、一旦源泉徴収票をもらった上で、それで確定申告をされてはいかがですか。
還付目的の確定申告自体は１月４日から受け付けていますので、一度税務署へ出向かれてはいかがでしょうか。

源泉徴収票の発行も、年末調整も、会社の義務で、所得税法上で罰則規定もありますので、会社にきちんとしてもらうべきものです。

会社に、間違いなく扶養控除等申告書を提出しているのであれば、そもそもは年末調整する義務がありますので、会社に言えば当然してもらえるものと思います。
（そもそも源泉徴収票の発行も、請求されなくてもすべきものですし）