頭の一部が痛むのですが何科に行けばいいのでしょうか

くしゃみや咳などで発症する、脳脊髄液減少症(低髄液圧症侯群と称する場合もあり)の可能性も少なくないと思われます。

http://page.freett.com/nishiniyellow/CFStonokann …の「2.低髄液圧症候群とは」→「●原因」をご覧下さい。

日本脳脊髄液減少症研究会では、次の5項目のいずれかに当て嵌まると脳脊髄液減少症(低髄液圧症侯群と称する場合もあり)の可能性も少なくないと判断していますので、もしも１つでも当て嵌まれば、脳外科の受診をお勧めします。
1 ）痛 み
頭痛、頸部痛、背部痛、腰痛、四肢痛
2 ）脳神経症状
嗅覚障害、視力障害、複視、顔面違和感、聴力障害、耳鳴、眩暈、味覚障害、咽頭違和感
3 ）自律神経症状
微熱、動悸、胃腸障害（腹痛・便秘・下痢）、手足冷感、発汗異常
4 ）高次大脳機能・精神症状
記憶力低下、思考力低下、集中力低下、睡眠障害、うつ状態
5 ）その他
内分泌障害、全身倦怠感、光過敏

参考URLの「◆診断」→「日本頭痛学会I-19特発性低髄液圧性頭痛はどのように診断し，治療するか」→「解説・エビデンス」→「■7.2.3特発性低髄液圧性頭痛の診断基準」→「●頭痛以外の症状」をご覧下さい。

参考URL：http://members.at.infoseek.co.jp/teizui_file/

頭痛外来という科がいいと思います．または脳神経科ですね．

内科が無難ですね。

血圧、血管などを疑い、検査をして、原因がはっきりしなければ然るべき医療機関に紹介してもらえると思います。

年齢、性別、生活環境などで全く答えが違ってきます。

危険の多いほうから対処していくなら、脳外科を最初に行くべきです。