公正証書遺言があるのに保険金がおりません。

＃１です。

となれば、あとは保険の約款上の問題かと思われます。
被保険者死亡の場合の入院給付金等の支払い規定が「公正証書を認めない」「保険会社で規定している書類でしか認められない」ということでしょう。このあたりの運用はやはり保険会社毎に違う点があり、認める会社があるからといって全ての保険会社が認めるものではありませんし、その保険会社が認めないからといって「この保険会社おかしくないでしょうか？」とするのもどうかと…

個人的見解としては、事実上何の問題もないようですし、他社から保険金を受け取ったという実績もあるようです。

今後の考えられる対応としては、なぜ公正証書では支払えないのかを確認することや、担当者ではなくもう少し役職の高い人に話しを持っていくとか、お客様相談センターへ電話をしてみる等が挙げられます。
金額的にどれほどのものかわかりませんが、おそらく弁護士等を使って問題にするほどでもないと思われます。

死亡保険金は相続税の対象ですが、2004.11.1.以降は相続財産ではなくなりました。

(最高裁2004.11.1.抗告棄却決定)

2004.11.1.以降、保険金支払査定時の必要書類を変更してする生保が増えつつあります。
公正証書では保険金を支払えないと言ってきた生保は、最高裁決定に従ったものと推察します。

約款を確認してください。

何時でも単純に本人に支払われるものであれば、相続人が受け取る話になりますけど、約款にて本人が死亡していたときの受取人として特に指定がある場合には、相続財産にはならない場合があります。

またこの指定がある場合にはこの判断（民法上相続財産となるのかそれともならないのか）は微妙な場合があるため、保険会社では相続財産とみなされる（裁判の判決がなければ確定しない）危険性を考えて、公正証書遺言があっても、安全の為に相続人の同意を求めていることも考えられます。この場合にはもし他の相続人の協力が得られないのであれば、こちらからそれが相続財産であり、公正証書遺言に従うべきものであることの確認を求める訴訟を起こさないと納得しないかもしれません。

憶測ですが…

質問にある「公正証書」は相続財産つまりお父様の財産の分与に関して書かれてるものだと推察されます。

一方で、死亡保険金は相続財産ではなく保険金受取人の財産となります。

上記のことを考えれば、公正証書と保険金については全く関係がないことになります。

保険金受取人が指定されていれば問題ありませんが、法定想像人となっている場合には、その内の一人が代表して保険金を受け取ることになります。この受取りには法定相続人全員の同意が必要になります。受け取った後に他の法定相続人に分けるなりをすることになります。