ANAのEdyカードを複数枚(3枚以上)持ちたい

結論から申し上げれば、方法はあります。

ANAマイレージクラブ(AMC)において、「ANAカード」の語は自動的に「クレジット機能付きカード」を意味します。クレジット機能のない会員カードは「AMCカード」と呼び分けられています。(本回答ではこの使い分けに従います)
質問者さんが追加発行を希望なさっているのはANAカードでなく、Edy機能付きAMCカードということになるかと思いますが、冒頭申し上げたように手はあります。

まず通常のEdy機能付きAMCカードですが、現在は一人一枚までしか持てないことになっています(*1)。ANAのFAQのページ[1]にもその旨が明記されています。
質問者さんの場合は通常のEdy機能付きAMCカードを既に一枚お持ちですので、これ以上の追加発行はできないことになります。ご家族の名義でEdy機能付きAMCカードを作ることは可能ですが、そのカードでEdyを利用した分のマイルは質問者さんでなく、名義人の方のマイル口座に加算されることは申し上げるまでもありません。

しかし通常のAMCカード以外であれば質問者さんの名義で作れます。「通常のAMCカード以外のカード」とは、Edy機能付きAMCカードにさらに他の機能を持たせたカードです。より具体的に述べるならば現時点で、
(1) ANAマイレージクラブマリーンズカード
(2) ANAマイレージクラブ宮交バスカ
(3) ANAマイレージクラブフィナンシャルパス
の3つが存在します。[1]のFAQにも「同一カードの発行は1枚まで」とありますので、同一でなければその種類の数だけカードを作れるという道理です。私は実際に(1)～(3)の全部を持っています。

(1)はプロ野球・千葉ロッテマリーンズのファンクラブ"TEAM 26"の会員証との兼用カードです[2]。ファンクラブ会員のカテゴリーはいくつかに分かれていて年会費が必要なものもありますが、一番お手軽な「一般会員」であれば入会金や年会費は不要です。
なお今シーズンの入会受付は9月24日までですので、入会をお考えならお急ぎ下さい。手続きはインターネットからも可能です[3]。
(2)は宮崎県をカバーするバス会社、宮崎交通のバス乗車用ICカードを兼ねています[4]。「ANA宮崎就航50周年」の限定カードですが現時点でもまだ発行されているようです。発行費用や年会費はもちろん無料です。
インターネット経由の申し込みも可能ですが、こちらの入会手続きは宮崎交通でなくANAが行うため、AMC会員の方がインターネットから申し込むと「既に会員です」というメッセージが出て拒絶されます。この場合は紙の入会申込書を取り寄せて郵送で申し込むことで対処できます。
(3)は静岡県東部に拠点を置くスルガ銀行のキャッシュカードを兼ねたカードです[5]。申し込みは「口座の開設」としてスルガ銀行宛てに郵送で行います。口座管轄の支店は「スルガ銀行ANA支店」[6]という無店舗支店になります。
スルガ銀行ANA支店はEdy付きAMCカードが作れるにとどまらず、マイルを貯める上でも大きなメリットがあります[7]。例えば給与振込みで毎月50マイル、電話料金引落しで毎月10マイル(固定、携帯それぞれに対し付与)、クレジットカード引落しで毎月5マイルなどが加算されます。給与振込みの受け皿にするだけで年間600マイルが黙っていても入ってくる勘定です。
無手数料(*2)で引き出せる提携ATMも多いので(セブン銀行ATMなど)、静岡県以外の地域にお住まいでも特段の不都合はないでしょう。

既にご存じかと思いますが、ANAマイレージクラブでは会員カード1枚ごとに会員番号が発行されます。そのままですとマイルはばらばらに加算されますので、口座をまとめる手続きが別途必要です。詳細は[8]でご覧下さい。

[1] http://www.ana.co.jp/amc/reference/edy/faq/card. …
[2] TEAM 26　http://www.team26.jp/index.html
[3] https://member.team26.jp/mix/FmaMemberRegist.do? …
[4] 宮交バスカ　http://www.ana.co.jp/amc/news/miyakoh/index.html
[5] スルガ銀行フィナンシャルパス　http://www.surugabank.co.jp/ana/card_function.html
[6] スルガ銀行ANA支店　http://www.surugabank.co.jp/ana/index.html
[7] ANA支店メリット　http://www.surugabank.co.jp/ana/other/merit.html
[8] 口座まとめ　http://www.ana.co.jp/amc/reference/amc/profile_c …

*1 過去には複数枚保有可能だったようですが、現在はFAQにある通り一人一枚に制限されています。なお通常のEdy付きAMCカードを1枚と、ANAカードを複数枚(クレジットカードのブランドごとに1枚まで)保有することは可能です。
*2 無手数料の提携ATMでも、時間外手数料は利用時間帯や曜日によってかかります。

参考URL：http://www.ana.co.jp/amc/reference/edy/faq/card.html,http://www.surugabank.co.jp/ana/card_function.html

家族カードとはクレジットカードのことですよね？

ANAマイレージクラブカードに家族カードはないのでもう一人の名義で申込書を取り寄せて申し込めば二枚持ちできます。

ご家族がＡＮＡマイレージ会員になって、カードを申し込めばいいのではないでしょうか。

ご家族の人数分作成できると思いますが。