なぜ安倍晋三さんが最有力候補になりえたのでしょう

いくつかの要素があるでしょうね。

まず、
「そもそも政界屈指の名門である」
彼の祖父である岸信介は妖怪と呼ばれた自民党の長老でした（ものすごい経歴の持主です）。
その孫である彼は見事なまでの自民党エリートです。
しかも大叔父は佐藤栄作。父親も外務大臣。
何かと引き立てられて当然というわけですね。

「若くして幹事長に抜擢された」
無論、彼の家柄あってこそですが、40代で官房副長官、幹事長を歴任し、今は官房長官。
残るポストは首相くらいしかありません。エリート好きな人にはたまらないでしょう。

「対北朝鮮で強硬姿勢を見せた」
国民的な関心事であったこの事件に対して、彼は強硬的な姿勢を鮮明にしていました。
これは当時の国民感情からして大きな点数稼ぎになったことでしょう。

で、あとは単純にルックスの良さも手伝って、おば様方に大人気。民衆へのアピールの上手さと家柄の良さ、経歴と非の打ち所がありません。
自民党としても、この類いまれなエリートをつぶすわけにもいかないでしょう。
勝ち目が無い場合は立候補すらさせなかったはずです（森元総理が近いことを匂わせてはいましたが）。

にも関わらず全会一致で首相に推されないのは、派閥間での駆け引きがあること（残る候補は全て別の派閥です）、小泉首相への反発があることからでしょう。
面白いのは、彼は異端児と呼ばれた小泉首相の後継者であるにも関わらず、実は最も自民党らしい人間であるという事です。
かつて小泉首相が倒そうとした旧体制の申し子の様な存在が彼というわけ。皮肉なものです。

マスゴミが持ち上げたからです。

小選挙区制が導入されてから、党の公認を得られるかどうかが、議員の最大の関心になってしまいました。

前回の衆議院選挙で、小泉首相の考え方と相容れない候補者に、党本部は、大量の刺客を送り込み、当選を阻害させました。
あれに、議員はすっかり怖気づき、党本部ににらまれない事が、最大の当選への道だと思い込んでしまいました。
そのためには、勝ち馬の乗る事が、絶対条件ですから、特定の候補が有利となると、その候補になだれをうって支持者が集まってしまうのが、現実となってしまいました。

つまり、各議員さんの選挙対策にすぎないのです。

付け足しをしておきますと、9.17小泉訪朝を切っ掛けに、以前から拉致問題に取り組んでいた安倍さんが拉致問題と共にメディアで取り上げられる様になり安倍人気が高まる。

現在自民党は創価学会を頼らなくては与党の座には居られないほど、国民からの信頼を失っている（少なくとも自民党員自身はそう思っている）。安倍さんの様な人を自民党総裁にすえた上で、選挙を戦わないと選挙で勝つ事はできないと考えている。

人気を集めるのは人気という状態になっているからです。

例えば美人投票をしたときにその投票者に利得が絡んでくると、各個人が「誰が一番美人と感じるか？」ではなく「誰が一番美人と思われるか？（つまり誰に票が集まるか？）」という形での投票になってしまうのです。
以前は派閥という形が利得が分散されていた為、派閥内での論議の後の代表ＶＳ代表ＶＳ だったので露骨な人気投票にはならなかったのですが、現在はそれが崩れて露骨な人気者探し投票になっているのです。