ギブス

まず、

＞なぜか、肘の部分まで巻かれているので、
ですが骨折におけるギプスをかける基本は骨折部をはさんで上下２関節を固定します。
ですのでこの処置は正しいと言えます。

年齢が分からないのでお答えに困るのですが、手首の骨折と言う事は橈骨(とうこつ、親指側の骨です)の骨折だと思いますが、ここの骨折は転位(骨折部が動いてしまう事)が起こりやすく、変形治癒が起こりやすい場所なんで最低でも２週間は完固定です。
その後、転位の有無、腫れの有無を考慮しながら「半ギプス」と言ってギプスの側面に切り込みを入れて「パカン」と外せるようにしたり、より短いギプスに巻き替えたりします。

この時期のギプスは確かに汗をかいたりして匂いなどを気にされる方が多いですね。
昔の石膏型のものと比べて今のタイプは軽く通気性もよくなったのですがそれでもどうしても蒸れて痒くなったりします。
そんな時、私のところでは長い綿棒(医療用にあるんですが)に消毒用のエタノールを漬けて拭いています。

水を流し込むとまた蒸れますし、棒で掻くと傷が出来てバイ菌が入り込むとも限らないので余り勧められません。

先生に相談してみてください。良い方法を考えてくれますよ。

余談ですが、以前やはり手首を骨折した患者さんはよほど痒かったのでしょう。
相当悪戦苦闘したようでした。
ギプスを外したら爪楊枝やら脱脂綿がいっぱいでてきまして二人で笑い合った事がありました。

手首の骨折は骨だけの問題ではないですよ。

小さい骨や筋肉の腱が手首の所に集中しているので固定しておかないと変な形でくっついてしまいます。
ですのでしばらくは固定しないとあとあと元の様に動かなくなりますので１ヶ月はそのままのギプスを使用するでしょう。
かゆかったり汗がたまって臭いがしますが傷がないなら隙間から水を流しながら細いプラスティク製のパイプ等を使って掻いて汗を洗い流しましょう。
この方法は医者の言うと怒られますので言わないようにやりましょう。