イシガメの皮膚病でしょうか

皮膚病だと思います。

皮膚が白っぽく変色する、水カビ病等の亀の皮膚病の治療には、圧倒的にイソジンの効能が有名です。
治療後、 軽ければ１週間程度、状態により１、２ヶ月程度かけて治るようです。
イソジンを（水でやや薄めても十分です。）患部につけ、水槽から数時間は出しておくようにしてください。
その後、半日程度は、水も少なくして、患部を乾かすようにします。
あくまでも容体を見ながらで、一気につけ過ぎないで下さい。
もし、症状が悪化する時は、亀を診れる獣医もいますので、タウンページなどでお近くの病院を探し、診て貰って下さい。
塗り薬などを調合してくれるようです。 　

亀が動かない、元気がないというのは、気温が低い場合もありますし、
日光浴不足などで基礎代謝ができないのかもしれないです。
日光も餌も十分である場合は、内疾患が疑われるので、やはり動物病院へ連れて行った方が安心です。

また、前の環境との違いや、飼い主が触り過ぎることにより、警戒心が強くなって動かないケースもあるので、その時は、きれいな水と、エサと、日光浴の環境を与えて、後はそっとしておきます。
亀は頭がいいので、敵でないことを学習します。

エサは、以前はどんなものをあげていたのか
譲っていただいた方に聞いてみて、同じものをあげてみてください。
今の環境に慣れれば、食べると思います。

１です。

濾過砂利をあまり過信なさらないほうがいいと思います。
なにより、皮膚病の予防に一番なのは
充分な日光浴と、キレイなお水ですから。

濾過砂利を入れてるからといって、あまり掃除しないというよりは、
普通の砂利でも毎日掃除するほうが、よっぽど良いらしいです。

ごくごく初期の、軽い皮膚病なら、日光浴だけで治ってしまうこともあるので、
やはり、毎日少しずつでも日に当ててあげてください。
人工灯はあまりよくないです。