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問題は、
4点(0,0,0),(1,3,-4),(4,1,-13),(-2,5,5)が同一平面上にある事を行列式を用いて示せ。
という問題です。
私が解いたのは、(0,0,0)を基準点にして、ベクトルr1=(1,3,-4),r2=(4,1,-13),r3=(-2,5,5,)とおいて、r1=αr2+βr3となる実数α、βが存在することを、実際に解いて求めて示しました。でもこれだと、行列式を使わないので、どなたか、行列式を用いたやり方が分かる人がいたら、教えて下さい。
この問題には、ヒントが載っていたので、それも書いておきます。
(ヒント)題意より、位置ベクトルr1=(1,3,-4),r2=(4,1,-13),r3=(-2,5,5)が同一平面上にあることがわかる。3つのベクトルでどんな立体ができるのか。その立体の体積は…

A 回答 (3件)

平行六面体の特別な形で


「つぶれる」ケースがあるのを
考えればOKです
ヒントの
「3つのベクトルでどんな立体ができるのか。
その立体の体積は…」
のままですよ.

行列式は「体積要素」なんて呼ばれることもあり
積分の変数変換にもでてきますよね
行列式の値の絶対値は
そのベクトルが張る立体の体積だというのが
No.1さんがおっしゃってることです.

ちなみにmaydraftさんの解いた方法は
r1,r2,r3が一次従属であることを
具体的に係数を求めて表したわけです
一次従属はすなわち「同一平面上にある」
ということです.
一般にベクトルa,b,cに対して
a,b,cが一次従属であることと
行列(a b c)の行列式が0であるのは同値ですので
この性質を使えというのが
出題者の意図でしょう

#何次元になってもこの性質は変わりません.
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この回答へのお礼

実際、3行3列の行列式を求めたら、ちゃんと0になりました。どうもありがとうございました。

お礼日時:2006/05/05 09:38

>「r1,r2,r3の張る」とは、どういう事ですか?


http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa …

これの図6が、「a,b,cが張る平行六面体」です。


>3次元空間になるのなら、同一平面上とは言えないのではないですか?

まずは、R^2で考えてみてみましょう。
a,bを並べて作った行列の行列式を求めて、(a,bはベクトルです)
a,bが張る平行四辺形の面積を比べてみてください。

特に、a,bが一次従属の時、
「a,bが張る平行四辺形」はどんな形になり、
a,bを並べて作った行列の行列式はいくつになるでしょうか?

参考URL:http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa …
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この回答へのお礼

わかりやすいHPのアドレスを載せてもらいありがとうございました。おかげでどうにか証明できそうです。ありがとうございました。

お礼日時:2006/05/05 09:40

R^2において、r1,r2を並べて作った2×2の正方行列の行列式は,r1,r2の張る平行四辺形の面積を表します。




同様に、R^3において、r1,r2,r3を並べて作った行列の行列式は、r1,r2,r3の張る平行六面体の体積を表します。

この回答への補足

「r1,r2,r3の張る」とは、どういう事ですか?3次元空間になるのなら、同一平面上とは言えないのではないですか?

補足日時:2006/05/04 19:27
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