アフィリエイトに関する確定申告について（高校生）

＞親の扶養を外れてしまい親子共々脱税となるという情報を…

間違った情報を信じてはいけません。
扶養をはずれても、きちんと納税すれば、脱税などではありません。

＞昨年は基礎控除38万円以下だったので確定申告をせずに…

高校生ということなら、あなた自身に所得税がかからない最小限度は、
・基礎控除 38万
・勤労学生控除 65万
・合計 103万円
です。この金額を超えれば、あなたも確定申告をして納税することになります。
http://www.taxanswer.nta.go.jp/1175.htm

一方、親御さんが扶養控除を得るためのあなたの所得の限度は、
・特定扶養親族 63万円
です。この金額を超えれば、親御さんの納税額が大きくなるだけで、脱税ではありません。
http://www.taxanswer.nta.go.jp/1180.htm

>自分なりに調べてはみたものの扶養を外れないようにするにはアフィリエイトをやめるしかないのでしょうか？

はい。越える前にやめるしかありません。

ただ扶養を外れることを親に告げれば別に脱税にはなりませんよ。
親が今年の年末調整なり確定申告なりするときにご質問者を税扶養からはずせば良いだけなのですから。