できかねる

ご質問の通り、「できかねる」は正しい日本語ではありません。

　「かねる」という言葉は、もともと「かぬ」という古語の活用の変化したものです。その「かぬ」とは「～かぬ」という使い方で、「～できない」「～するのは耐えられない」という意味をあらわします。
　現代語でも同じです。「～かねる」は、「～できない」「～するのは耐えられない」という意味です。例えば、
「我慢しかねる」は「我慢する」＋「～かねる」
で、「我慢することができない」という意味になります。ですから、「できかねる」となってしまうと、「できる」＋「～かねる」ということで、「できることができない」となってしまいます（^^;
　馬に乗馬する、や睡眠を寝る、というような間違いと同じですね。
　単に、「することができない」という意味ならば「しかねる」で良いわけです。（「する」＋「かねる」）
　これを敬語にするのであれば「しかねる」の「し（＝「する」）」の部分を敬語になおせばよいのです。自分ができない、というのであれば、「する」の部分を遜りの表現（謙譲語）「いたす」に直します。すると、
　「いたす」＋「～かねる」＝〈いたしかねる〉謙譲語
となります。これが正しい敬語（謙譲語です）。ですからme-kyokoさんが正しい、ということですね。
　さらに敬意を加えようという場合には、これに「です／ます」（丁寧語）を添えることもできます。
　「いたしかねる」＋「～ます」＝〈いたしかねます〉謙譲語＋丁寧語
となります。
以上、説明がやや長くなってしまいましたが、参考にして頂ければ幸いです。

書く」などの五段動詞の可能表現は「書ける」という可能動詞を用います。

「見る」などの一段動詞は「見られる」のように助動詞を用います。サ変動詞「～する」の可能表現は「できる」とされています。
「できる」の否定は「できない」となり、その丁寧表現は「できません」となります。
しかし「できません」というような断定的な言い方は日本人にはなじめません。ましてや話し相手がお客様の場合は必然的に遠まわしな言い方になるでしょう。「いま手がこんでいますからすぐにはできません」というような理由を丁寧に説明する言い方が丁寧な印象を与えるのではないでしょうか。
または「申しわけありませんが～かねます」というような別表現も用いられると思います。

丁寧語ではありませんね。

どうぞ
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参考URL：http://bach.ss.sugiyama-u.ac.jp/~yamane/sahou/ke …