４次元の林檎

文献等を参照にしていませんし、数学もあまり得意でないですが、学生の頃から個人的に考えていたことに基づいて書きます。

この問題は、「１点から等距離」ですから、極座標で考えます。
三次元の極座標は（ｒ，θ，φ）です。
ＸＹＺ軸による三次元の表現は、必ず極座標に変換できます。（導出方法の説明は省きます。）


このとき重要な事実は、
「半径ｒ方向に対して、角度θとφの方向は常に垂直で、かつ、θとφも互いに垂直方向である」
ということです。

二次元で考えれば簡単です。半径に対して、円周に沿う方向は垂直ですよね？
（だから、円の面積は、底辺２πｒ、高さｒの三角形と同じ面積になるのです。円の「底辺」である円周と「高さ」である半径とは、常に垂直ですから。）


三次元は、地球儀のイメージで考えるとわかりやすいです。
θは緯度、φは経度と考えます。
地表で見れば、
θが－９０度（南緯９０度）～＋９０度（北緯９０度）の範囲で動いた軌跡も、
φが－１８０度（西経１８０度）～＋１８０度（東経１８０度）の範囲で動いた軌跡も、
地球の中心から見れば、それは全て地表（球の表面）での動きですから、ｒ（半径方向）に対して垂直です。

球の表面積は、４πｒ^2です。
球の体積は、半径ゼロから半径ｒまでの球の表面積の集合ですから、
∫４πｒ^2・ｄｒ　＝　３分の４　×πｒ^3
となるわけです。
つまり、表面積が既知であれば、球の体積は簡単に求まります。

ですから、先に球の表面積を求めるのが重要になります。

θとφの取るべき範囲は上述したとおりですが、度の単位をラジアンに書き直しますと

θの範囲：－９０度～９０度　→　－π／２～＋π／２
φの範囲：－１８０度～＋１８０度→　－π～＋π


θ（緯度）を固定して考えますと、φを－π～＋πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。
その、一つの円の半径は、ｒ・cosθ
したがって、一つの円周は、２πｒ・cosθ　です。
球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、
この円周を、θ＝－π／２～＋π／２　の範囲で積分すれば、球の表面積になるはずです。
円周の太さは、微小なθ幅ｒｄθです。

表面積を求めるのですから、ｒは固定です。

∫２πｒcosθ・ｒｄθ　＝　２πｒ^2・∫cosθ・ｄθ
　＝　２πｒ^2［sinθ］
　＝　２πｒ^2・（１－（－１））
　＝　４πｒ^2

ここまでで、三次元までの球の表面積、体積の考え方がわかったことになります。



では、
ゼロ次元から三次元までの円周、面積・表面積、体積について総括しますと、

ゼロ次元：
　半径も円周もない

一次元：
　半径ｒがあるだけ（座標は、－ｒと＋ｒのみ）

二次元：
　半径ｒ
　円周は、∫ｒθ・ｄθ（θ＝－π～＋π）＝２πｒ、
　面積は円周の集合であり、∫２πｒ（ｒ＝０～ｒ）＝πｒ^2

三次元：
　半径ｒ
　１つの円周は、∫ｒ・cosθｄφ（φ＝－π～＋π）　＝　２πｒ・cosθ
　表面積は円周の集合であり、∫２πｒcosθ・ｒｄθ（θ＝－π／２～＋π／２）＝　４πｒ^2
　体積は表面積の集合であり、∫４πｒ^2・ｄｒ（ｒ＝０～ｒ）　＝　４／３・πｒ^3


では、いよいよ、四次元について考えます。

四次元極座標を（ｒ、θ、φ、ω）と定義します。
そして、各々が取るべき範囲を考えましょう。
まず、ｒについては、何も悩むことがありません。
残りの３つ、すなわち、角度θ、φ、ωが問題です。
（３つの順番は、どれが先でもよいのですが）

三次元では、互いに直交する角度座標
緯度θ＝－π／２～＋π／２、経度φ＝－π～＋π
を定義しました。
これによって、球の表面の全てを表すことができ、
かつ、上記範囲を定めることにより、一対一対応すなわち１つの場所に対して必ず１つの座標が与えられました。
もしも、θが＋π／２よりも大きい値を取ることを許してしまうと、北極を通り過ぎて、地球の裏側へ行ってしまうので、一対一対応にならなくなってしまいます。
ですから、三次元極座標で半径ｒ以外の座標の合理的な範囲設定は、「－π／２～＋π／２」「－π～＋π」の２種類以外に考えられません。

では、四次元座標では、３つの角度のうち２つが仮に「－π／２～＋π／２」「－π～＋π」であるとして、もう一つの角度をどう定義すればよいでしょう？

おそらく、ですが、四次元まで考え方を拡張する場合、上記２つのほかに、任意の（＝勝手に決めた、若しくは想像上の）範囲を取ることになると思います。



また、ゼロ次元から順を追って考えたことから分かるように、
　（ａ、ｂ、ｃ、ｄは任意）
ａπｒ　は円周、球の一つの円周
ｂπｒ^2　は円の面積（円周の集合）、球の表面積（一つの円周の集合）
ｃπｒ^3　は球の体積（球の表面積の集合）
という物理的な次元を持っています。

４次元では、おそらく、ｄπｒ^4　という新しい次元概念が必要になるでしょう。
すなわち、
ａπｒ　は一つの円周
ｂπｒ^2　は一つの球の表面積（円周の集合）
ｃπｒ^3　は一つの球の体積（表面積の集合）
ｄπｒ^4　は謎の概念（体積の集合）

また、三次元の表面積を求めた過程で、一つの円周（φの範囲＝－π～＋π）は、
２πｒ・cosθ
となりました。
θとφは、お互い垂直なのですが、長方形や三角形のように単純にθ×φというように掛け算をして微小面積が求まるわけではなくcosθという可変の補正係数を掛ける必要があったわけです。
それは、四次元に拡張したときに、どうなるか？
これは不明です。



＜まとめ＞

・円や球の諸性質の計算には、互いに直交する極座標を用いる。
　四次元極座標であれば（ｒ、θ、φ、ω）

・三次元でθ、φの範囲をそれぞれ、－π／２～＋π／２、－π～＋π　と決めたのと同様に、四次元でも角度座標の範囲を定める必要があり、かつ、重複座標の不合理が無いようにしなければいけない。
　そうしないと、積分の範囲が定まらず、表面積、体積を計算することができない。


・三次元の計算で登場した「２πｒ・cosθ」の「cosθの」ように、可変の係数が、さらに必要になると思われるが、それが何であるかは不明。




＜追伸＞
相対性理論では、光が進む経路は、時空のゆがみを考慮したときの最短距離、すなわち四次元での最短距離になります。
したがって、その最短距離の集合を球とする考え方は出来ますが、
しかし、そのとき、球の表面積や体積を求めるということの意味は、時空のゆがみによって見かけのＸＹＺが変わったときの球、すなわち、結局三次元のＸＹＺ座標での表面積になってしまうような気がします。
何かしらの概念で任意に定義することは可能かもしれませんが・・・



（参考）三次元までの計算　（私は参照していないのですが）
http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/g …

せっかくですから、＃１さんのところにでている、4次元超球の媒介変数表示を出してときます。

x^2+y^2+z^2+w^2=r^2
より、
x=r・sinω・sinθ・cosφ
y=r・sinω・sinθ・sinφ
z=r・sinω・cosθ
w=r・cosω

0≦φ＜2π
0≦θ≦π
0≦ω≦π

過去にも同様な質問がありました。

http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=569499

参考URL：http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=569499