譲り受けた車に、乗り換える場合の手続き等について

同じ県内で名義変更した場合、自動車税の月割り清算はありません。

中古車屋が３月中に名義変更してくれない場合は、一年分の自動車税をまるまる負担することになります。
また、県をまたがる自動車税の返金方法が４月１日より変わります。
以前は県が変わると、月割りの清算があったのですが、それがなくなります。
つまり、４月以降は、月割り清算がまったくなくなることになりますので、注意が必要です。
売買する場合は、名義変更の期限を書面ではっきりさせるほうが、あとあとのトラブル防止になります。

はじめまして。

自動車税は前の回答者様も仰るとおり４月１日現在の所有者に対して課税されます。
ですので、譲渡される／売却するは別に考える必要があります。
３月中にミラを自分名義にして、ホーミーを売却して中古車販売店名義になっていれば貴方に請求されるのはミラの税金だけです。
また、もしそうでなかったとしても、自動車税は所有者変更があった場合は月割りにして計算しますので若干損得はありますが丸々かかるわけではありません。
２つ目の譲り受ける場合の手続きですが、貴方が政令指定都市など、軽自動車でも車庫証明の必要な地域にすんでいれば車庫証明も必要です。
その年式の軽自動車であればおそらく取得税などはかからないと思います。

自動車税は、４月１日の名義人に課税されます。

だから、キャラバンを売るなら、必ず３月中に名義変更させないといけません。
同様に、ミラを３月中にあなたに名義変更しておけば、ミラの軽自動車税があなたに課税され、前に所有者に迷惑がかかりません。