「粛々と～」は擬音ですか。

＃３です。

＞「鞭聲粛々夜過河」の「粛々」は擬音語で、

擬音語とは、雷は「ゴロゴロ」、コップが「ガシャン」と割れる、というように、音そのものを表したものです。
鞭を「シュクシュク」と鳴らすとは思えませんので、擬音語ではないでしょうね。静かに、厳かにという意味そのものだと思います。

＞「粛々と業務を行う」の「粛々」は状態を表す擬態語でしょうか

擬態語とは、「ふかふか」のベッド、「ぽかぽか」と暖かい日、というように心象を音にように表したものです。
やはり、＃３で書いたように「慎(つつ)ましく、静かにそして厳粛に」というような意味そのもので、音声的に表したものではありません。したがって擬態語とはいえないと思います。

また、暁の中に千兵が突然現れて驚くわけですから、河を渡りながら鞭をピシッと鳴らしたりはしないと思います。敵に気づかれぬよう静かに静かに息を殺すようにして渡っていたことでしょう。＃４さんは、そのことを踏まえた上で「連想される」というだけのことをおっしゃっているのだと思いますよ。

＞「粛々」は「粛々に＋V」にはなりませんから、形容動詞ではないと思いますが、いかがでしょうか。

そもそもは名詞でしょうね。でも＃２さんのおっしゃるように（少し違いますが）文語の助動詞「たり」が付いた形容動詞型になることもあります。ただし、現代口語では連用形の「と」と連体形の「たる」しか使われていません。
形容動詞型には「ダ」型活用（「静かに」など）の他に「タルト」型活用（「純然たる」「堂々たる」など）というものがあるのです。「粛々と行う」はこの「タルト」型の形容動詞型といえると思います。
（横レス申しわけありません）

＃3，5，6の方々のおっしゃるように，「粛々」は「形容動詞」であり，「ぽかぽか」などの擬態語・擬音語は「副詞」です。

語感が擬態語・擬音語のように感じられるかも知れませんが，これは明らかに別の単語です。断じて「音」ではありません。

＃3，5，6の方々の説明で納得がいかないようでしたら，国語事典や漢和辞典を引いてみてください。それでも納得できないなら，公立の図書館には「日本国語大辞典」という全13巻の国語辞典が，また「大漢和辞典」という全15巻のものすごい漢和辞典が必ず置いてありますから，ぜひそれらを見てください。（大漢和は古い辞書なので文体などが読みにくいかも知れませんが。）

言葉のことが気になったら，人に聞くよりもまず辞書を引いてみてください。気になることを辞書で調べるというのは，思っているより楽しいですよ。

まず、ことばの由来ですが、

毛詩、小雅、魚藻之什、黍苗篇に「粛粛謝功召伯営之烈烈征師召伯成之」とあり、その注に「粛粛厳正之貌」とあります。
強いて挙げればこちらではないかと思います。

そうだとすると、元来は擬音語でも擬態語でもありません。毛詩で用いられるこの種の繰り返しがもつ意味につきましては専門ではありませんので意見は差し控えます。

次に、聖経を暗記させられるなんて経験のない現代人が、このことばを擬音語あるいは擬態語として認識するようになっているか、という問題につきましては、人それぞれだと思います。回答にはなっていませんが、一概にはいえません。

頼山陽の漢詩では武田軍に聞かれないように鞭を出来る限り静かに使っている音を意味していると思いますが、これは鞭のピシッという音を連想させるように思います。

オノマトペではありませんね。

粛粛にはいろんな意味があるようです。
厳(しい)、静(か)、速(やか)、慎(ましい)、という心持を全部合わせた（もしくはその一部の）意味と思ったらいいと思います。

例文の場合ですと、「『慎ましく静かに』業務を行う」という語感が近いでしょう。実際、現代ではこのような意味で一番多く使われていると思います。

「賞罰粛而号令明」と三国志・蜀にもあるようですね。私自身は、やはり「慎ましく、静かに」にこの厳粛さの語感が含まれていると感じます。

では、オノマトペとしての「粛粛」はないのか、というと、それが少しはあるようです。
古典では「粛粛」を鳥の羽ばたきの音や松風の形容にも使う例があります。この松風は「シュクシュク」という音を表していますので、この場合は擬音といえるかもしれません。しかし、現代ではほとんど耳にすることはありません。
茶道では、お湯の沸く音を「松風」というようです。これも「粛粛（シュクシュク）」というお湯の沸く様子の擬音から松風という名詞をあてたものといえるでしょう。＜この部分は私の私見です。自信ありません

意味は♯１さんの書かれている通りだと思います。

「粛々と」は「行う」に係っていて、「と」「たり」などの活用があるので、形容動詞です。
敢えて言えば、静かで厳かな「様子」「状態」を表しているので、擬態語と言えるのではないでしょうか。

擬声語でも擬態語でもなく、頼山陽の有名な漢詩「鞭聲粛々夜過河」（べんせいしゅくしゅく、よるかわをわたる）にも有るように、もとは漢語だと思います。

意味は
１ ひっそりと静まっているさま。
２ おごそかなさま。厳粛なさま。
３ つつしみうやまうさま。
です。

参考URL：http://dic.yahoo.co.jp/bin/dsearch?index=0874430 …