北千住駅～綾瀬駅、綾瀬駅～柏駅　改札を通る時suicaかパスネットか？

北千住駅～綾瀬駅間は、JRでも東京メトロでもあるので、Suica・パスネットどちらでも使えます。

北千住・綾瀬駅の自動改札機はSuica・パスネットのどちらでも通れます。もちろん柏駅ではSuicaで出られます。ただ、誤って帰りに綾瀬駅でパスネットで入らないように気をつけてください。

北千住駅～綾瀬駅間の特例については以下のページを参考にしてください。
http://www.tokyometro.jp/joshaken/unchin/ayase_k …

この場合は、北千住ではどちらでもいいです。

綾瀬から柏の場合はＳｕｉｃａを使ってください。
綾瀬や北千住から乗る場合は、最終目的地が東京メトロの場合はパスネット、ＪＲの場合はＳｕｉｃａだと思っていただければ大体大丈夫です。

北千住・綾瀬の各駅の自動改札機は、Ｓｕｉｃａとパスネットの両方が使用できます。

（他に西船橋・中野なども。）ただし、入った時に使用したカードで出なければなりません。
No.1の方の回答で御分かり頂けると思いますが、ちょっと補足します。

地下ホームの北千住～綾瀬間はＪＲの乗車券でもメトロの乗車券でも乗車できます。もちろんＳｕｉｃａやパスネットも含まれます。
ただし、地上ホームの北千住～綾瀬間の快速線（実際は綾瀬には快速線のホームがないので松戸まで）は、ＪＲの乗車券では乗車できますが、メトロの乗車券では乗車できません。Ｓｕｉｃａは使用できますが、パスネットは使用できません。
ただし実際には北千住駅の地上ホームと地下ホームは改札内でつながっているので、実質どちらも乗車できるでしょうけど、厳密には上記の規則になります。

また、千代田線町谷方面および日比谷線南千住方面～常磐線亀有方面との間を直通する場合は、北千住～綾瀬間が各停線でも快速線でも、北千住で両社で分けた運賃の合計になります。つまり北千住で一旦降りた場合と同額です。
綾瀬で分けた方が安くなる区間の場合は、綾瀬で一旦下車しなければ安くなりません。